Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2004-2005 Laurea specialistica in Informatica V.M. Tortorelli I prova in itinere, 7 aprile 2005

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1- Si calcoli la dimensione del sottospazio delle forme tri-lineari alternanti su R^{5} che si annullano sulle terne del tipo ((1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, −2, 1, −1), (x, y, z, v, w)).

R.:

2-a Se esiste si calcoli lim_{{(x,y)→(0,0), \atop 2x≤y≤x^{2}+2x}} \frac{x^{3} − y^{3}}{x^{2}y − xy^{2}}

R.: 2-b Si calcoli lo sviluppo di Taylor del terzo ordine della funzione (tan log(1 + xyz), cos(x + yz)) nel punto (0, 1, 0).

R.: 3-a La successione di funzioni f_{n}(x) = \frac{n}{(1+|n^{2}−nx|)^{n}} converge rispetto alla distanza indotta dalla norma ∥f∥_{∞} = sup_{x∈R} |f(x)| ?

R.: 3-b Per quali p ≥ 1 converge rispetto alle norme ∥f∥_{p} = (∫_{R} |f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} alla funzione nulla?

R.: 4- Si calcolino i polinomi del tipo x ↦ ax^{2} + a^{2}x + c che minimizzano la distanza dalla funzione x ↦ x^{3} rispetto alla norma ∥f∥ = \sqrt{∫_{−1}^{1} |f(x)|^{2}dx}.

R.: 5- Si calcoli \frac{∂x}{∂v}_{|_{u=0,v=e}} ove u = sin x sin y, v = e^{x+y}, relativamente ad un intorno di (x, y) = (1, 0)

R.