Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2004-2005 Laurea specialistica in Informatica V.M. Tortorelli II prova in itinere, 27 maggio 2005

————————————————————————————————————————–

1- Si calcoli il volume della regione dello spazio definita da x^{2} + y^{2} ≤ z^{2} + 1 ≤ 2.

R.: 2 - Si dica se l’integrale della funzione log(x^{2}+y^{2}+z^{2}) è finito sulla superficie z = log(x^{2}+y^{2}) ≤ 0.

R.: 3- Quale delle seguenti due funzioni:

f(x) = ∫_{0}^{1} x^{y^{2}} \frac{sin y}{y} dy , g(x) = ∫_{1}^{+∞} x^{y^{2}} \frac{sin y}{y} dy , x ≥ 0

ha derivata finita per x = 0?

R.: 4- Si calcoli il limite per n → ∞ degli integrali della 1-forma −\frac{y}{x^{2}+y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2}+y^{2}} dy sui grafici di x ↦ x^{2} − 1, |x| ≤ n percorsi nel senso delle ascisse crescenti.

R.: 5- Considerando la funzione f(x, y, z) = x^{2}y^{2} + z^{2}y^{2} + x^{2}z^{2}, omogenea di grado 4 per cui (x, y, z) · ∇f(x, y, z) = 4f(x, y, z), si calcoli il suo integrale sulla superficie x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1.

R.: 6- Si trovi una soluzione non nulla del problema \frac{dy}{dt} (t) = t^{2}\sqrt{y(t)}, y(0) = 0.

R.