Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2004-2005 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli I prova scritta finale, 9 giugno 2005

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1 - Si calcoli l’area del triangolo di vertici (1, 1, 1, 1), (3, 2, 5, 4), (4, 3, 2, 1).

R.:

2. Si determini il punto di minima distanza dall’origine dell’insieme definito da x^{2} + 8xy + 7y^{2} = 225 . R.:

3.a - Si calcoli il limite f(x), x ∈ R di f_{n}(x) =: ∫_{n(x−1)}^{n(x+1)} e^{−t^{2}}dt [tic ∫ e^{−t^{2}} = \sqrt{π}].

R.: 3.b- Perchè la convergenza non può essere uniforme?

R.: 4- Si integri yz^{2} sulla regione bidimensionale definita da

x^{2} + z^{2} = a^{2}, 0 ≤ y ≤ b.

R.: 5- Si calcolino le soluzioni dell’equazione y′′ + y′ − y = t.

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2004-2005 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

I prova scritta finale, 9 giugno 2005

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

1- Al variare di a ∈ R si discuta la sommabilità sul dominio definito da |x| + |y| ≤ 1 della

funzione (\frac{|x^{2} − y^{2}|}{x^{2} + y^{2}})^{a}.

2 - Sia ω la 2-forma differenziale yz dy ∧ dz + xz dz ∧ dx + xy dx ∧ dy.

a- Si trovi una 1-forma differenziale per cui dη = ω. b -Si verifichi direttamente che il differenziale esterno di ω è nullo.