Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2004-2005 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli II prova scritta finale, 30 giugno 2005

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1 - Si calcoli il volume del tetraedro tridimensionale incluso in R^{3n} generato dall’origine e da (1, … 1, 0_{n−simo posto}, 1 … 1), (1, … 1, 0_{2n−simo posto}, 1 … 1), (1, … 1, 0)

R.:

2. Si calcoli \frac{∂y}{∂u}_{|_{u=sin 1,v=sin 1,w=0}} ove u = sin x, v = sin xy, w = sin xyz, relativamente ad un intorno di (1, 1, 0).

R.:

3. Dire se la funzione (x, y, z, w) ↦ x^{2}y^{2}zw ha integrale finito sulla superficie definita implicitamente con le condizioni (x^{2} + y^{2})(z^{2} + w^{2}) = 1, x^{2} + y^{2} ≤ 1, z, w ≥ 0.

R.: 4- Si trovino tutte le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali orinarie: x′(t) = x(t) + y(t), y′(t) = x(t) − y(t).

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2004-2005 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

II prova scritta finale, 30 giugno 2005

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

a- Si provi che il sottoinsieme C di R^{4} definito dalle condizioni

\{ \begin{matrix}(x + y + z + w)^{2} + (x − y + z − w)^{2} = 1 \\ (x − y − z + w)^{2} + (x − y − z − w)^{2} = 1 \end{matrix}

è limitato e chiuso.

b- Si trovino i valori di massimo e di minimo assoluto della funzione f(x, y, z, w) = x^{2} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{3} + \frac{w^{2}}{4} su C, e i punti ove tali valori sono rispettivamente assunti.