Complementi di Analisi Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Laurea Specialistica in Informatica V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi dal 14 febbraio al 23 febbraio 2006

Registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 - Si scriva in forma parametrica il segmento parallelo al vettore dall’origine a (1, 2, 3), passante per (4, 5, 6) e lungo 14.

- Si scriva in forma parametrica il triangolo di vertici (1, 2, 3), (4, 6, 8), (5, 7, 9).

- Si trovino due numeri reali a, b per cui (1, 2) = a(1, 1) + b(2, 1). Si mostri che sono unici. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 - In uno spazio vettoriale si suddivida il segmento di estremi A e B in quattro parti di egual lunghezza mediante i tre punti P, Q, R espressi in funzione di A e B.

- Dati A e B, trovare le coordinate di un punto R sul segmento AB tale che la distanza di questo da A sia il doppi di quella da B.

- Se R è punto medio del segmento AB, determinare B in funzione di R e A. ————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale si dice convesso se per ogni coppia di suoi punti contiene tutto il segmento tra essi compreso (t ∈ [0; 1], P, Q ∈ C ⇒ (1 − t)P + tQ ∈ C). Si osserva che l’intersezione di una famiglia di convessi è un convesso. K ⊆ C si dice faccia estremale se contiene i segmenti di C che al loro interno contegnono qualche suo punto. PROPOSIZIONE In uno spazio vettoriale di dimensione finita ogni convesso senza facce estremali proprie è intersezione di semispazi privi dell’ iperpiano estremale. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 - Si provi che un [0; 1], \{(x, y) : x = 3y + 1\}, \{(x, y) : y ≤ \sqrt{2}x − 6\}, {(x, y, z) : z = 3}, {(x, y, z) : x − y ≤ z} sono convessi.

- Si provi che {(x, y) : y ≥ |x|}, {(x, y) : y ≥ x^{2}}, {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1} sono convessi. ————————————————————————————————————————– DEFINIZONE: dati n punti P_{1}, ..., P_{n} si dice combinazione baricentrica o media pesata di essi un qualsiasi punto del tipo m_{1}P_{1} + … m_{n}P_{n}, ove m_{1} + … m_{n} = 1, 0 ≤ m_{1}, … m_{n} ≤ 1. I numeri m_{1}, … m_{n} si diranno anche pesi della combinazione. DEFINIZIONE: dato un insieme A si dice inviluppo convesso di A l’insieme dei punti che si ottengo con combinazioni baricentriche di elementi di A. PROPOSIZIONE: Per un sottoinsieme A del piano l’inviluppo convesso si ottiene con medie pesate di terne di punti di A. Nello spazio di quaterne. In uno spazio vettoriale di dimensione d l’inviluppo convesso si ottiene con combinazioni baricentriche di d−ple di punti dell’insieme. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Trovare le coordinate del baricentro (definito come punto di incontro delle mediane) di un triangolo conoscendo le coordinate dei suoi tre vertici. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 - Si esprima il triangolo ottenuto dall’ intersezione dei semipiani x ≥ 1, y ≥ 1, y ≤ −2x + 3 come inviluppo convesso di tre punti.

- Mostrare che in generale l’inviluppo convesso di un insieme A non è eguale all’intersezione dei semipiani, che contengono ognuno la retta che lo individua, e che contengono A. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Dato un punto P di uno spazio vettoriale si scriva la simmetria rispetto a tale punto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y, z) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini del piano o dello spazio:

- simmetria rispetto alla generica retta passante per l’origine

- simmetria rispetto alla retta passante per (2, 3) e parallela a (3, 4)

- rotazione antioraria di un sesto di ‘angolo giro’ attorno all’origine

- rotazione antioraria di un ottavo di ‘angolo giro’ attorno al punto (4, 5)

- simmetria rispetto al punto (1, 2, 3)

- simmetria rispetto al piano x − y + z = 0

- simmetria rispetto al piano x − y + z = 3

- rotazione antioraria di un angolo retto attorno all’asse verticale (0, 0, 1)

- rotazione di un angolo retto attorno all’asse orientato positivamente dall’origine a (1, 1, 1) in senso antiorario. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano o dello spazio:

- la dilatazione di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2};

- la dilatazione anisotropa di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2} nella direzione (1, 2) e fattore 2 nella direzione (2, 1).

- dilatazione anisotropa di centro l’origine e fattori di scala 2, 4, − 1 rispettivamente nelle direzioni (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 2, 3) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 A che trasformazioni del piano o dello spazio corrsipondono le seguenti funzioni: (x, y) ↦ (−y, x),(\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + 1, \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y − 1), (x − y, x + y); (x, y, z) ↦ (x, −y, −z), (x, y, 0), (\frac{1}{2}x, 2y, 0) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 - Date due rette per l’origine nel piano che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda?

- Scambiando l’ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e non lascia nessun punto fisso è una traslazione.

- Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e lascia un punto fisso è una dilatazione rispetto ad un punto. -Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni che trasformano uno nell’altro? -Dati quattro punti A ≠ B, C ≠ D vi è un’unica traslazione o dilatazione che trasforma A in C e B in D. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano x^{2} + y^{2} = 1 in se? -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano |x| + |y| = 1 in se?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione R : R^{2} → R^{2}, definita da

R(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = −bx + ay,

definisce una rotazione del piano (attorno all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2};

(ii) posto U = R(1, 0), V = R(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente;

(iii) posto (ξ′, η′) = R(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni (x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione S : R^{2} → R^{2}, definita da

S(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = bx − ay,

definisce una simmetria del piano (rispetto all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2};

(ii) posto U = S(1, 0), V = S(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente;

(iii) posto (ξ′, η′) = S(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni (x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.15 Si provi che tutte e sole le trasformazioni lineari del piano che conservano il prodotto scalare sono le isometrie lineari (rotazioni e riflessioni). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16^{∗∗} Le trasformazioni T bigettive del piano che mandano rette in rette sono tutte e sole le trasformazioni affini (T (x, y) − T (0, 0) è lineare) e bigettive. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17^{∗∗} Le trasformazioni del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare è data da matrici ortogonali (con colonne ortogonali di norma 1, che rappresentano rotazioni e riflessioni). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.18 Le trasformazioni lineari del piano che conservano gli angoli tra due semirette sono tutte e sole quelle del tipo (x, y) ↦ (ax + by, −bx + ay), (ax + by, bx − ay). ————————————————————————————————————————– L’equazione come luogo di zeri che individua una retta nel piano ovvero un piano nello spazio non dice altro che si considerano i punti (x, y, z) che hanno un prodotto scalare di valore costante d con un vettore prefissato (a, b, c): ax + by + cz = d. Semipiani e semispazi vengo invece individuati dalle relative diseguaglianze. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 19 - Determinare l’equazione della retta passante per (2, −1) e perpendicolare alla retta di equazione 4x − 3y + 12 = 0. -Determinare la retta passante per (0, 0) e per il centro di x^{2} + y^{2} − 2x + y = 0.

- Si calcoli la distanza del punto (−3, 2) dalla retta di equazione 4x − 3y + 12 = 0.

- Si calcoli la distanza del punto (−3, 2, −1) dal piano di equazione 4x − 3y + 2z − 12 = 0.

- Si determini come luogo di zeri il piano parallelo ai vettori dall’origine a (1, 2, 3) e (4, 5, 6) e passante per (7, 8, 9).

- Si determini come luogo di zeri il piano passante per (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 9). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 20 Che poliedri individuano gli insiemi {(x, y, z) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1}, {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| ≤ 1}. Qual’è la distanza dall’origine delle facce del secondo? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 Dimostrare che per ogni P, Q si ha |P − Q|^{2} = |P |^{2} + |Q|^{2} − 2 P • Q. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 - Provare che il triangolo di vertici (2, −1), (4, 2) e (5, 1) è isoscele.

- Provare che il triangolo di vertici (−3, 3), (−1, 3) e (11, −1) è rettangolo.

- Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto A relativa al triangolo ABC, ove A = (−1, 1), B = (0, −6), C = (−10, −2).

- Scrivere l’equazione del luogo dei punti che sono equidistanti da (0, 2) e (2, 1).

- Scrivere l’equazione del luogo dei punti che sono equidistanti dai punti (0, 2, 1) e (2, 1, 3). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.23 - Si provi che le rette ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono parallele se e solo se esiste λ ∈ R tale che a′ = λa e b′ = λb.

- Si provi che le rette ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono perpendicolari se e solo se esiste λ ∈ R tale che λa = −b′, λb = a′.

- Si provi che: le rette X = P + tQ, t ∈ R, e ax + by + c = 0 sono perpendicolari se e solo se i vettori Q e (a, b) sono proporzionali; parallele se e solo se Q e (b, −a) sono proporzionali. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 24 - Si provi che due vettori, (a, b) e (α, β), sono uno multiplo dell’altro se e solo se aβ − bα = 0.

- Dimostrare che il sistema \{ \begin{matrix}ax + by + c = 0 \\ αx + βy + γ = 0 \end{matrix} per ogni dato (c, γ) è risolubile univocamente

se e solo se risulta aβ − bα ≠ 0; in tal caso se ne scriva la soluzione (x, y). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 25 - Si trovino le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 1 \\ 2x + 2y + z = 1 \\ −x − y + z = 1 \end{matrix}

- Si trovino le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 2 \\ 2x + 2y + z = 1 \\ −x − y + z = 1 \end{matrix}

- Si trovino le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ −x − y − z = 0 \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 26 - Due vettori nello spazio sono uno multiplo dell’altro se e solo se il loro prodotto vettore è nullo.

- Si verifichi che dati due vettori nello spazio (α, β, γ) e (A, B, C) il vettore individuato dalla terna (det((β, γ), (B, C)), −det((α, γ), (A, C)), det((α, β), (A, B))) è ortogonale ai due vettori.

- Si deduca dal precedente punto che tre vettori nello spazio stanno sullo stesso piano passante per l’origine se e solo se il determinante delle loro coordinate è nullo.

- Si provi che il sistema \{ \begin{matrix}ax + by + cz = d \\ αx + βy + γz = δ \\ Ax + By + Cz = D \end{matrix} ha un’unica soluzione per ogni dato (d, δ, D) se e solo se det((a, b, c), (α, β, γ), (A, B, C)) ≠ 0.

- Per quali dati(d, δ, D) è risolubile se invece il determinante è nullo? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.27 - Si consideri lo spazio vettoriale delle funzioni continue reali definite su un intervallo. Si mostri che f ↦ \sqrt{∫_{a}^{b} |f(t)|^{2}dt} è una norma su tale spazio.

- Si mostri che il rapporto tra la norma f ↦ max |f| e f ↦ \sqrt{∫_{a}^{b} |f(t)|^{2}dt} non può essere limitato al variare di f.

- Si consideri l’insieme delle successioni n ↦ a_{n} con serie dei moduli convergente ∑_{n} |a_{n}| < +∞. Si provi che è uno spazio vettoriale. Si mostri che (a_{n})_{n∈N} ↦ ∑_{n} |a_{n}| è una norma su tale spazio.

- Si consideri l’insieme delle successioni n ↦ a_{n} con serie dei quadrati convergente ∑_{n} |a_{n}|^{2} < +∞. Si provi che è uno spazio vettoriale. Si mostri che (a_{n})_{n∈N} ↦ \sqrt{∑_{n} |a_{n}|^{2}} è una norma su tale spazio. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 28 Siano d : X × X → R^{+}, ρ : X × X → R^{+}, δ : Y × Y → R^{+}, distanze sull’insieme X e sull’insieme Y. Si discuta quale delle seguenti funzioni è ancora una distanza.

d_{1}(a, b) = \frac{d(a,b)}{1+d(a,b)} ; d_{2}(a, b) = artan(d(a, b)) ; d_{3}(a, b) = min\{d(a, b), 1\} ;

d_{4}((a, α), (b, β)) = max\{d(a, b); δ(α, β)\} ; d_{5}((a, α), (b, β)) = (d(a, b)^{p} + δ(α, β)^{p})^{\frac{1}{p}} , p ≥ 1 ;

d_{6}(a, b) = Ψ(d(a, b)), Ψ concava, non negativa, nulla in 0 ; d_{7}(a, b) = χ_{]0;+∞[}(d(a, b)).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 29 Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione finita con norme | · |_{V} e | · |_{W}. Si provino le seguenti eguaglianze e quindi che la funzione definita è una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni lineari da V in W.

L ↦ ∥L∥ =_{def} sup_{v∈V \(0)} \frac{|Lv|_{W}}{|v|_{V}} = sup_{|v|_{V} =1} |Lv|_{W} = sup_{0<|v|_{V} ≤1} \frac{|Lv|_{W}}{|v|_{V}} = sup_{0<|v|_{V} ≤1} |Lv|_{W} .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.30 Si calcolino le norme delle seguenti funzioni lineari, estendendo la definizione negli ultimi due casi:

L(x, y) = ax + by ; L(x, y) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ a & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ; x ∈ R^{n} ↦ Ax ∈ R^{n}, ^{t}AA = I ;

f ∈ C([0; 1]) ↦ L(f) = ∫_{0}^{1} f(y)dy ∈ R, |g|_{C} = max_{0≤x≤1} |g(x)| ;

f ∈ C([0; 1]) ↦ L(f) = ∫_{0}^{x} f(y)dy ∈ C([0; 1]), |g|_{C} = max_{0≤x≤1} |g(x)|.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.31 Se A è una matrice n × n si provi che ∥A∥^{2} = ∥^{t}AA∥. Si mostri che non sempre ∥A∥^{2} = ∥A^{2}∥. ————————————————————————————————————————–