Complementi di Analisi Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Laurea Specialistica in Informatica V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi dal 28 febbraio al 9 marzo 2006

Registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si considerino i luoghi dei punti di R^{2} descritti dalle seguenti equazioni:

(i) x^{2} + y^{2} − 1 = 0, (v) x^{2} + y^{2} + xy = 0,
(ii) x^{2} + y^{2} = 0,  (vi) x^{2} − y^{2} = 0,
(iii) x^{2} + y^{2} + 1 = 0, (vii) x^{2} + y^{2} + 2x + 2y + 2 = 0,
(iv) x^{2} + y^{2} + 2xy = 0, (viii) (x^{2} − 1)^{2} + y^{2} = 0,

e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:

(a) nessun punto,  (d) una retta,
(b) un punto,  (e) due rette,
(c) due punti,  (f) una circonferenza.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente i seguenti luoghi di zeri: x^{2} +y^{2} +2xy = 0, xy = 1, (x−y)^{2} = (x+y)^{2}, x^{2} +y^{2} −6xy −x+4 = 0, xy −23y +8y −1 = 0, 3x^{2} + 2y^{2} − 3xy + x + y − 100 = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Verificare che:

- un ellisse è il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi costante;

- un iperbole è il luogo dei punti con differenza delle distanze da due punti fissi costante;

- una parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa e da un punto fisso. ————————————————————————————————————————– OSSERVAZIONE si può verificare dando la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere in un sol punto è ad essa tangente in quel punto. DEFINIZIONE - Si dice cammino di riflessione rispetto ad una retta per un suo punto l’unione di due semirette (lati) con origine nel punto e simmetriche rispetto all’asse perpendicolare alla retta nel punto.

- Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto è un cammino di riflessione rispetto all’eventuale retta tangente all’insieme dato in questo suo punto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Verificare che:

- i cammini di riflessione rispetto ad una parabola con un lato parallelo all’asse della stessa hanno l’altro che passa per il fuoco della parabola;

- i cammini di riflessione rispetto ad un’elisse che hanno un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l’altro fuoco;

- i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole che hanno un lato passante per un fuoco hanno prolungamento del secondo lato passante per l’altro fuoco.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si consideri la funzione (A, B) ↦ tracciaA\overline{B} definita sulle coppie di matrici complesse di dimensione n. Si mostri che da un prodotto scalare complesso sul sottospazio delle matrici Hermitiane. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Si trovi la forma canonica di Jordan reale della matrice con colonne (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Date due matirci A e B di dimensioni rispettive n × h e k × k si consideri la funzione X ↦ detAXB definita sulle matrici h × k. Si provi che è multilineare alternante nelle colonne e la si esprima in funzione dei determinanti dei minori. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Si provi per induzione che il coefficiente di grado n − k di un polinomio monico di grado n è

(−1)^{n−k} ∑_{σ} λ_{σ_{1}} … λ_{σ_{k}},

ove la sommatoria è estesa alle funzioni non decrescenti da {1 … k} a {1 … n} e λ_{j}, 1 ≤ j ≤ n è una numerazione non decrescente con molteplicità delle radici del polinomio. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 - Si provi, per esempio usando il risultato dell’esercizio 7, che la somma dei determinanti delle sottomatrici k × k che hanno la diagonale in comune con la matrice principale n × n è invariantte per cambiamenti di coordinate.

- Si scrivano i coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice n × n in termini di determinanti. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.10 - Si calcoli l’area del triangolo di vertici (1, 2), (6, 7), (−1, 3).

- Si calcoli il volume del parallelepipedo nello spazio di vertici (1, 1, 1), (2, 2, 3), (3, 2, 2), (2, 3, 2), (5, 5, 5).

- Si determini l’area del triangolo con vertici l’origine, (1, 1, 1) e la proiezione ortogonale di questo sul piano per l’origine e i punti (1, 2, 2), (2, 2, 1).

- Si calcoli l’area del triangolo di vertici (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 - Si provi che i quattro punti (1, 1, 1), (3, 2, 2), (2, 3, 2), (4, 4, 3) giacciono su uno stesso piano.

- Si calcolino le aree dei tre parallelogrammi ottenuti proiettando ortogonalmente sui piani coordinati il parallelogramma, nello spazio, di vertici (1, 1, 1), (3, 2, 2), (2, 3, 2), (4, 4, 3).

- Si verifichi che la radice quadrata della somma dei quadrati delle precedenti aree è eguale all’area del parallelogramma nello spazio. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Si cacloli la dimensione dello spazio delle forme 3-lineari alternanti in R^{5} che si annullanno sulla terna (1, 0, 0, 0, 0),(0, 0, 1, 0, 0),(0, 0, 0, 1). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 [k-covettori in R^{n}] Siano e_{1}, …, e_{n}, rispettivamente e^{1}, …, e^{n}, gli elementi della base standard di R^{n} e della base standard del duale di R^{n}, lo spazio delle funzioni reali lineari di n variabili. Date le funzioni reali lineari φ_{1}, …, φ_{k} su R^{n} si definisce la seguente forma k-lineare ⟨φ_{1} ⊗ … ⊗ φ_{k}; u^{1}, …, u^{k}⟩ = ⟨φ_{1}; u^{1}⟩ … ⟨φ_{k}; u^{k}⟩.

Si definisce la k-forma lineare alternante e^{i_{1}} ∧ … ∧ e^{i_{k}}, come quella che dati k vettori, v_{1} … v_{k}, considerati come colonne di una matrice associa loro il determinante della matrice ottenuta selezionando le k righe i_{1}, … i_{k}.

- Si provi che e^{i} ⊗ e^{j}, 0 ≤ i ≠ j ≤ n sono linearmente indipendenti e formano una base dello spazio vettoriale delle forme bilineari su R^{n}.

- Si provi dunque che e^{i} ∧ e^{j} = e^{i} ⊗ e^{j} − e^{j} ⊗ e^{i}, 0 ≤ i < j ≤ n, e formano una base dello spazio delle 2-forme lineari alternanti Λ^{2}R^{n}.

- Si calcoli la dimensione dello spazio delle k forme lineari (o k-covettori) alternanti su R^{n}.

- Date la k forma alternante α = ∑_{i_{1}<...<i_{k}} a_{i_{1}...i_{k}}e^{i_{1}} ∧ … ∧ e^{i_{k}}, e la r forma

β = ∑_{j_{1}<...<j_{r}} b_{j_{1}...j_{k}}e^{j_{1}} ∧ … ∧ e^{j_{r}}, si definisce la k + r forma prodotto esetrno

α ∧ β = ∑_{i_{1}<...<i_{k},j_{1}<...<j_{r}} a_{i_{1}...i_{k}}b_{j_{1}...j_{k}}e^{i_{1}} ∧ … ∧ e^{i_{k}} ∧ e^{j_{1}} ∧ … ∧ e^{j_{r}}

Si mostri che tale notazione è coerente con quella introdotta per i covettori elementari. Si mostri che tale prodotto è associativo, lineare in ogni variabile, α ∧ β = (−1)^{kr}β ∧ α, e che per l’iterazione su funzioni lineari vale la formula f_{1} ∧ … ∧ f_{r}(v_{1} … v_{r}) = det{f_{i}(v_{j})}_{i,j}

- Semplificare l’espressione (e^{1} + 2e^{2} + 3e^{3}) ∧ (e^{1} + 2e^{2} − 3e^{3}) ∧ e^{4}.

- Calcolare: ⟨(e^{1} + e^{3}) ∧ (e^{2} ∧ e^{1} + e^{4} ∧ e^{3}); ((4, 2, 1, 3), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0))⟩ ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 [k-vettori e k-covettori in R^{n}] - Grazie al prodotto scalare euclideo si identifichino i vettori di R^{3} con le funzioni lineari reali.

Se (a, b, c) ∧ (A, B, C) = αe^{2} ∧ e^{3} − βe^{1} ∧ e^{3} + γe^{1} ∧ e^{2} si provi che (α, β, γ) • (x, y, z) = det ((x, y, z), (a, b, c), (A, B, C)). Quindi (α, β, γ) è ortogonale ai vettori dati, il suo modulo è l’area del parallelogramma da essi generato, e la base ordinata ((α, β, γ)(a, b, c), (A, B, C)) è orientata positivamente. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 [k-vettori]- Grazie al prodotto scalare euclideo si identifichino i vettori di R^{3} con le funzioni lineari reali. Si provi che due coppie ordinate di vettori (U, V) e (S, T) definiscono lo stesso sottospazio bidimensionale, hanno la stessa orientazione relativa, e danno parallelogrammi di egual area, se e solo se come funzioni lineari si ha U ∧ V = S ∧ T

- Si possono definire i k-vettori elementari v_{1} ∧ … ∧ v_{k} in modo forte come lo spazio le classi di equivalenza di k − ple di vettori (v_{1}, dotsv_{k}) che danno lo stesso risultato per ogni k-forma lineare alternante. Lo spazio vettoriale astratto generato dai k-vettori elementari si dice spazio dei k-vettori. Si mostri che in dimensione finita le k-forme lineari alternanti sul duale di R^{n} sono identificate con iu k-vettori. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 - Si provi che per n ≤ 3 tutti i 2-vettori sono della forma u∧v. In generale tutti gli n − 1-vettori sono della forma u^{1} ∧ … ∧ u^{n−1}.

- Dire quali tra seguenti 2-vettori possono essere scritti nella forma v ∧ w (n = 5): e_{1} ∧ e_{2} + 2e_{1} ∧ e_{3} + 2e_{2} ∧ e_{3}, e_{1} ∧ e_{2} + e_{3} ∧ e_{4}, e_{1} ∧ e_{2} + e_{2} ∧ e_{3} + e_{3} ∧ e_{4} + e_{4} ∧ e_{5} ————————————————————————————————————————–