Complementi di Analisi Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Laurea Specialistica in Informatica V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi dal 7 marzo al 16 marzo 2006

Registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si studi l’esistenza dei limiti nei domini delle seguenti funzioni, al variare di eventuali parametri, e quando possibile se ne calcoli il valore:

\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} ; \frac{sin(xy)}{x^{2}+y^{2}}; x^{2} log(x^{2} + y^{2}); \frac{x sin y}{y sin x}; \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{4}} ; \frac{sin(x|y|)}{x^{2}+|y|}; \frac{e^{x^{2}y}−x sin(xy)−1}{(x^{2}+y^{2})^{2}} : (x, y) → (0, 0);

\frac{x+y}{3x+2y}; \frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}y^{2}} ; \frac{x^{3}+y^{2}}{x^{3}+y^{3}} ; \frac{y^{2}+x+y}{x^{2}+x+y}; \frac{x^{2}y^{2}}{|x|^{α}+|y|^{α}}; \frac{P (x,y)}{Q(x,y)} : (x, y) → (0, 0), α > 0, P, Q polinomi nulli in (0,0);

\frac{y}{x^{2}−y} : (x, y) → (0, 0); \frac{y}{x^{2}−y} : (x, y) → (0, 0)_{|y|≥|x|};

x − y^{2} : x^{2} + y^{2} → ∞; x − y^{2} : x^{2} + y^{2} → ∞_{2y^{2}≤x}; \frac{x^{2}+y}{x^{2}+y^{2}+2xy} : x^{2} + y^{2} → ∞;

(∗)\frac{x^{α}y^{β}}{x^{2}+y^{4}} , \frac{x^{α}+y^{β}}{x^{2}+y^{4}} : (x, y) → (0, 0), α, β>0.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Tra le seguenti implicazioni si provino quelle valide e si trovi un controesempio per ognuna di quelle false:

1. ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) ⟹ ∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x,y).
2. ∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x,y)=lim_{y→y0} lim_{x→x0} f(x,y) ⟹ ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y).

3. \{ \begin{matrix}∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x, y) = λ_{1} \\ ∃ lim_{y→y0} lim_{x→x0} f(x, y) = λ_{2} \\ ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x, y) = λ_{3} \end{matrix}  ⟹  λ_{1}=λ_{2}=λ_{3}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.4 a) Si studi la continuità delle seguenti funzioni:

\sqrt{|xy|};  \sqrt{|x|} cos y;  ∫\begin{matrix}y \\ 0 \end{matrix} f(t, x)dt, f ∈ C(R^{2}); f(x,y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)≠(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix} ;

f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)≠(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix} ;

f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy−sin xy}{x^{6}+y^{6}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{2}}{x^{3}} e^{− \frac{y^{2}}{x^{4}}} & x≠0 \\ 0 & x=0 \end{matrix} .

b) Se ne studi la derivabilità nelle diverse direzioni. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Se f(x, y) = x^{x^{x^{y}}} + log x(artan(artan(artan(sin(cos(xy) + log(x + y)))))), si calcoli la derivata rispetto a y nel punto (1, y) \frac{∂f}{∂y} (1, y).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 a) Se f : X → Y è continua con inversa su tutto Y continua si provi che per A ⊆ X si ha f(∂A) = ∂f(A). (si consiglia di usare il linguaggio degli spazi topologici piuttosto che quello degli spazi metrici).

b) Si mostri con un esempio che se f è continua ed invertibile ma la sua inversa non è continua l’eguaglianza non è in generale vera. Quale inclusione è vera?

c) Tenendo conto che nelle definizioni di misura di Peano Jordan e di misura esterna di Lebesgue gli iper-rettangoli cartesiani possono essere sostutuiti da ipercubi si provi che se f è una funzione da R^{n} in se Lipschitziana allora trasforma insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla.

d) Si provi che una funzione lineare L da R^{n} in se trasforma un insieme A Peano Jordan misurabile in un insieme Peano Jordan misurabile. Ricordando che mis(L[0; 1]^{n}) = |detL| si provi che mis(L(A)) = |detL|mis(A). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n.5 Si definiscano gli insiemi : \{ \begin{matrix}C_{0} = [0; 1] \\ C_{n+1} = \frac{1}{3}C_{n} ∪ (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}C_{n}) \end{matrix} , C = ⋂_{n=0}^{∞} C_{n}

a) Si provi che C_{n} é decrescente, C chiuso e non vuoto.

b) Si provi che C è l’insieme dei numeri di [0; 1] che ammettono un’espressione in base 3 senza 1 (x = ∑_{n≥1} \frac{a_{n}}{3^{n}} , a_{n} ∈ \{0, 2\}).

c) Si provi quindi che C non ha ne punti isolati ne punti interni, in particolare coincide con la sua frontiera, ed è più che numerabile. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.6 Se A ⊆ [0; 1] e a ∈ [0; 1], si denoti con T_{a}A l’insieme aA ∪ ((1 − a) + aA) (e.g. C_{n} = T n_{\frac{1}{3}}[0; 1]). Data \{a_{n}\}_{n∈N} una qualsiasi successione di numeri strettamente tra 0

ed \frac{1}{2} si definisca \{ \begin{matrix}D_{0} = [0; 1] \\ D_{n+1} = T_{0} ⋯ T_{a_{n}}[0; 1] \end{matrix} , D = ⋂_{n=0}^{∞} D_{n}

a) Si provi che D_{n+1} ⊆ D_{n}, che D_{n} è composto da 2^{n} intervalli chiusi. Si calcoli la misura di D_{n} e si mostri una successione per cui tali misure convergno ad un numero strettamente compreso ta 0 ed 1.

b) Si consideri la funzione F_{n} : [0; 1] → [0; 1] crescente, continua, affine a tratti, e nulla in 0 che trasforma C_{n} in D_{n}. Si provi che D è chiuso, senza punti isolati, senza punti interni e più che numerabile. Si mostri che se il limite delle misure dei D_{n} è non nullo allora D non è misurabile secondo Peano Jordan.

c) Provare che la successione decrescente delle funzioni caratteristiche x ↦ χ_{D_{n}}(x) dei D_{n} é di Cauchy rispetto alla seminorma f ↦ ∫_{0}^{1} |f(x)|dx.

d) Si provi che se vi fosse una funzione Riemann g integrabile per cui ∫_{0}^{1} |g(x) − χ_{D_{n}}(x)|dx → 0, n → ∞, allora sul complementare di ogni D_{n}, tranne al più un insieme di misura nulla secondo Peano. g dovrebbe essere nulla. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.7 a) Si provi che data una funzione ψ Riemann integrabile

m^{∗}\{x : |ψ(x)| ≥ m\} ≤ \frac{1}{m} ∫ |ψ(x)|dx

b) Ciò assodato, si completi quanto enunciato nell’ultimo punto del precedente esercizio mostrando che g deve essere eguale ad 1 su D tranne al più un insieme di misura di Peano nulla. Si concluda quindi mostrando che la seminorma f ↦ ∫_{0}^{1} |f(x)|dx non è completa.

ESERCIZIO n. 8 Si dica in quali sottoinsiemi di R le seguenti successioni di funzioni, per n → +∞, convergono puntualmente, in quali uniformemente, giustificando la risposta:

x^{n} ; nx^{n} ; \frac{1}{1 + x^{2n}}; \frac{n^{2}}{1 + x^{2n}}; \frac{1}{1 + (x − n)^{2}} ; min\{n; \frac{1}{x^{2}} \} ; \frac{(1 + x^{2})^{n+1} − 1}{(1 + x^{2})^{n}} ; \frac{1}{x^{n} + nx} ;

sin \frac{x}{n} ; sin \frac{x^{n}}{1 + x^{2n}} ; n^{2}xe^{−nx} ; n^{\sqrt{x}}e^{− \frac{n}{x}} ; e^{−n(e^{−nx})} ; x^{\sqrt{n}}e^{− \frac{x}{n}} ; |n + x|^{n+x} ; e^{−nx} log nx ;

(sin x)^{n}; (\frac{1}{n} + sin^{2} x)^{n} ; ∫_{1}^{n} \frac{e^{−xy}}{1 + y^{2}} dy .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.9 a) Per n ∈ N si definisca f_{n}(x) = \frac{1}{n} (artan(nx + n) − artanx), x ∈ R.

- Si studi la convergenza puntuale ed uniforme sui sottoinsiemi di R della successione (f_{n})_{n∈N}.

- Si studi la convergenza puntuale ed uniforme sui sottoinsiemi di R della serie ∑_{n} f_{n}.

b) Si studi la convergenza puntuale ed uniforme sui sottoinsiemi di R della successione di

funzioni: \frac{n^{2} sin^{2} (\frac{x}{n})}{1 + n^{2} sin^{2} (\frac{x}{n})}.

c) Per n ∈ N si definisca:g_{n}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}(cos x)^{n}}{1−cos x} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix} , x ∈ [−\frac{π}{2}; \frac{π}{2} ]

Si studi la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni (g_{n})_{n∈N}.

d) Si studi la convergenza puntuale ed uniforme sui sottoinsiemi dei domini specificati delle successione di funzioni {f_{n}}_{n∈N}, e detto f il limite si studi la convergenza puntuale ed uniforme e totale della serie ∑_{n}(f_{n} − f):

\{ \begin{matrix}f_{0}(x) = 1 , x ∈ [0; 1] \\ f_{n+1}(x) = \sqrt{xf_{n}(x)} \end{matrix} \{ \begin{matrix}f_{0}(x) = cos x , x ∈ R \\ f_{n+1}(x) = cos (f_{n}(x)) \end{matrix} \{ \begin{matrix}f_{0}(x) , x ∈ [0; A] \\ f_{n+1}(x) = ∫ _{0}^{x}f_{n}(y)dy \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Provare che la successione di funzioni: f_{n}(x) = (sin(nx))^{2n} , x ∈ [0; 2π] non converge in tutti i punti del dominio. Si studi la convergenza verso zero delle successioni numeriche date dai seguenti integrali:

∫_{0}^{2π} f_{n}(x)dx , ∫_{0}^{2π} nf_{n}(x)dx.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Dopo aver giustificato che le integrande sono integrabili si calcolino gli

integrali giustificando la risposta: ∫_{log 2}^{log 3} (∑_{n} ne^{−nx}) dx , ∫_{0}^{∞} (∑_{n} \frac{1}{4^{n} + x^{2}} ) dx. ————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: data f_{n} : X → (V, ∥v∥) successione di funzioni limitate a valori in uno spazio normato si dice che ∑_{n∈N} f_{n}(x) converge totalmente se la serie numerica ∑ ∥f(x)∥ converge. Se lo spazio è completo allora la convergenza totale implica la convergenza in norma ma non viceversa. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Si dica in quali sottoinsiemi di R le seguenti serie di funzioni, convergono puntualmente, in quali uniformemente, in quali totalmente, giustificando la risposta:

∑_{n} \frac{1}{1 + x^{n}} ; ∑_{n} \frac{1}{x^{n} + nx}, x > 0 ; ∑_{n} \frac{x^{3}}{1 + x^{2n}} ; ∑_{n} \frac{x^{n}}{1 − x^{n}}; ∑_{n} sin \frac{x}{2^{n}} ; ∑_{n} \frac{sin nx}{n^{2}}

∑_{n} n(sin x)^{n}; ∑_{n} ∫_{1}^{∞} e^{−xny^{2}}dy; ∑_{n} (artan(nx + n) − artannx) ; (∗) ∑_{n} \frac{1}{n + (x − n)^{2}} , x ∈ R.

ESERCIZIO n.13 a) Si discuta la convergenza puntuale di ogni funzione tra quelle elencate.

b) Se ne studi la convergenza uniforme: sul rispettivo dominio di definizione, sulle palle aperte, chiuse e sui complementari di queste.

c) Quando specificato se ne studi la convergenza rispetto alle norme o distanze indicate.

(a) n^{\sqrt{x}}e^{− \frac{n}{x}}  (b) e^{−n(e^{−nx})}, ∫_{−∞}^{0} |f|  (c) x^{\sqrt{n}}e^{− \frac{x}{n}}
(d) |n + x|^{n+x}  (e) (\frac{1}{n} + sin^{2} x)^{n} , ∫_{0}^{2π} |f|  (f) sin \frac{x}{n}
(g)e^{−nx} log nx, ∫_{0}^{+∞} |f| (h) sin \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} , ∫ |f|
(i) \frac{2^{n}(x+y)}{1+n2^{n}(x^{2}+y^{2})}  (j) f_{n} := \frac{1}{x^{n}+y^{n}+ny}, x,y>0  (k) ∑_{n} f_{n}

si studi anche la serie numerica ∑_{n} sup f_{n}

(l) ∑_{n} n(sin x)^{n}  (m) ∑_{n} e^{n(Rez− \frac{z}{2} +1)}  (n) ∑_{n} ∫_{1}^{+∞} e^{−xy^{2}}dy
(o) ∫_{1}^{n} \frac{e^{−xy}}{1+y^{2}} dy  (p) ∑_{n} \frac{|x−y|^{n}}{n!} log(n + x^{2} + y^{2})

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.14 Studiare la continuitá delle seguenti funzioni tra spazi normati:

a) Id : (C^{1}[0; 1], ∫ |f| + ∫ |f′|) → (C[0; 1], sup |f|)

b) Data f : R^{n} → R, se h ∈ R^{n}, si definisce τ_{h}f la funzione x ↦ f(x + h), e quindi si definisce l’operatore τf da R^{n} a valori funzioni dato dall’associazione τf : h ↦ τ_{h}f:

- data f limitata τf : R^{n} → (B(R^{n}), sup |f|), ove B(R^{n}) sono le funzioni limitate.

- data f limitata uniformemente continua e limitata

τf : R^{n} → (UCB(R^{n}), sup |f|) (UCB(R^{n}) funzioni uniformemente continue e limitate).

- data f continua e con norma L^{p}, (∫ |f|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} finita, τf : R → (C(R), |f|_{L^{p}}). c)P : (C[0; 1], ∫ |f|) → (C[0; 1], sup |f|), ove P f é la funzione x ↦ ∫_{0}^{x} f^{2}(s)ds.

d) Id : (C[0; 1], sup |f|) → (C[0; 1], ∫ |f|), e) Id : (C[0; 1], ∫ |f|) → (C[0; 1], sup |f|)

f) Id : (C[0; 1], ∫ |f|) → (C[0; 1], \sqrt{∫ |f|^{2}}) g) \frac{d}{dx} : (C^{1}[0; 1], sup |f|) → (C[0; 1], ∫ |f|)

h) \frac{d}{dx} : (C^{1}[0; 1], ∫ |f| + ∫ |f′|) → (C[0; 1], sup |f|) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.15 Per n ∈ Z sia e_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{2}π}e^{int}, t ∈ [0; 2π]. Per f ∈ C([0; 2π], C) si ponga c_{n} = ∫ f(t)\overline{e_{n}(t)}dt =: (f · e_{n}).

a) Si provi (e_{m} · e_{n}) = δ_{mn}, |S_{N}|^{2} = ∑_{n=−N}^{N} |c_{n}|^{2} ≤ ∫_{0}^{2π} |f(t)|^{2}dt , e che per ogni successione γ_{n} ∈ C con ∑ |γ_{n}|^{2} < ∞ si ha S_{N} = ∑_{n=−N}^{N} e_{n}γ_{n}. è di Cauchy rispetto alla norma

b) Per funzioni reali si considerino p_{0}(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}}, p_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{π}} cos nx, d_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{π}} sin nx, n > 0 e a_{n} = ∫ f(t)p_{n}(t)dt, b_{n} = ∫ f(t)d_{n}(t)dt e si provino gli analoghi. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n.16 a) Provare ∑_{n=0}^{N} a_{n}b_{n} = b_{N} ∑_{n=0}^{N} a_{n} − ∑_{n=0}^{N−1}(b_{n+1} − b_{n}) ∑_{k=0}^{n} a_{k}

b) Provare che se a_{n} ha somme limitate (cioè sup_{N} | ∑^{N} a_{n}| ≤ C < ∞) e b_{n} è infinitesima con variazione totale finita (cioè ∑^{∞} |b_{n+1} − b_{n}| < ∞, e.g. decrescente) allora ∑ a_{n}b_{n} converge.

c) Provare che se a_{n} ha serie convergente (∃ ∑^{∞} a_{n}) e b_{n} è solo con variazione totale finita allora ∑ a_{n}b_{n} converge.

d) Con le notazioni del precedente esercizio se f(t) = t si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi di [0; 2π] della serie di funzioni S_{N} = ∑_{n=−N}^{N} e_{n}c_{n}.

e) Se f(t) = t si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi di [−π; π] della serie di funzioni S_{N} = ∑_{n=−N}^{N} e_{n}(t) ∫_{−π}^{π} t\overline{e_{n}(t)}dt.

f) Se f(t) = t^{2} − 2πt si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi di [0; 2π] della serie di funzioni S_{N} = ∑_{n=−N}^{N} e_{n}c_{n}.

ESERCIZIO n.17 a) Usando il teorema di Stone Weiestrass astratto (un’algebra di funzioni continue chiusa per coniugio che separi i punti e contenga le costanti è densa) si provi che lo spazio vettoriale generato da e^{int}, n ∈ Z è denso con la norma uniforme nello spazio delle funzioni continue periodiche a valori complessi.

b) Si deduca che lo spazio vettoriale generato dalle costanti e dalle funzioni cos nt, sin nt è

denso rispetto alla norma (∫_{0}^{2π} |f(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} nelle funzioni con quadrato integrabile

c) Si provi che ∫_{0}^{2π} |f(t)|^{2}dt = \frac{1}{2π} lim_{n} ∑_{−n}^{n} | ∫_{0}^{2π} f(t)e^{−int}dt|^{2} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.18 Si consideri lo spazio vettoriale V delle funzioni continue a media nulla su [0; 1] (i.e. ∫_{0}^{1} v(t)dt = 0). Siano (Cv)(x) = ∫_{0}^{x} ∫_{0}^{y} v(t)dtdy − x ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{y} v(t)dtdy, (Bv)(x) = (Cv)(x) − ∫_{0}^{1}(Cv)(t)dt

a) Si provi che l’immagine di B sono le funzioni derivabili due volte con continuità, periodiche e a media nulla con derivate prime periodiche e a media nulla. Si scriva l’inversa di B.

b) Si trovino gli autovalori e le relative autofunzioni di B,

c) Si mostri che B è simmetrico rispetto al prodotto scalare (f, g) ↦ ∫_{0}^{1} f(t)g(t)dt

d) Si provi che B trasforma limitati rispetto alla norma (∫ f^{2}(t)dt)^{\frac{1}{2}} in relativamente compatti rispetto alla norma uniforme. ————————————————————————————————————————– Una serie del tipo ∑ a_{n}(z − z_{0})^{n}, a_{n}, z ∈ C si dice serie di potenze di centro z_{0}. Se ∑ a_{n}w^{n} converge allora ∑_{n} |a_{n}|r^{n} converge per ogni r < |w|, e quindi ∑ a_{n}z^{n} converge totalmente ed uniformemente nelle palle di centro 0 e raggio strettamente minore di |w| Se per qualche w la serie converge sup{r : ∑ |a_{n}|r^{n}converge} si dice raggio di convergenza, altrimenti si dice che la serie ha raggio di convergenza nullo. Dal criterio della radice per le serie a termini positivi si deduce che il reciproco di lim sup_{n→∞} ^{n}\sqrt{|a_{n}|} è eguale al raggio di convergenza (lim sup = lim_{n→∞} sup_{k≥n} = inf_{n∈N} sup_{k≥n}) ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 19 Calcolare le serie ∑_{n} \frac{x^{4n−1}}{4n − 1} , ∑_{n} \frac{x^{4n}}{4n − 3} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n+1}}{n(n + 1)}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.20 Si studi il dominio di convergenza delle serie di potenze

∑_{n} x^{4n−2} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} x^{n}10^{n} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n}}{n} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n10^{n−1}} , ∑_{n} \frac{x^{n} sin n!}{n(n + 4)} ,

∑_{n} x^{n}n! , ∑_{n} x^{2(n−1)}2^{n−1} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n(n + 1)}, ∑_{n} \frac{(−x)^{n}}{n − log n} , ∑_{n} \frac{(n!)^{2}x^{n}}{(2n)!} , ∑_{n} x^{n!}, ∑_{n} 2^{n}x^{n^{2}}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 Si studi la convergenza puntuale, uniforme e totale delle seguenti serie di

funzioni: ∑_{n} \frac{log(1 + nx)}{nx^{n}} , ∑_{n} \frac{a^{n}}{n^{x}} (a > 1) , ∑_{n} \frac{a^{n}}{n^{x}} (a < 1) , ∑_{n} x^{n^{2}}a^{n} , ∑_{n} \frac{log n}{n^{x}}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 Si studi il seguente problema di Cauchy per serie di potenze e si discuta

la convergenza della serie determinata: \{ \begin{matrix}(1 + x^{2})y′′(x) + y(x) = 0 , x ∈ R \\ y(0) = y′(0) = 1 \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.23 Si studino le seguenti serie di potenze in campo complesso all’interno del dominio di convergenza e si calcoli il limite delle prime due:

∑_{n} z^{n} , ∑_{n} \frac{z^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} \frac{z^{n}}{n!} , (∗) ∑_{n} \binom{α}{n}z^{n} (α ∈ C).

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