Complementi di Analisi Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Laurea Specialistica in Informatica V.M. Tortorelli IV foglio di esercizi 18 aprile 2006

Registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso. ————————————————————————————————————————– Per ulteriori esercizi relativi ai primi elementi di calcolo differenziale vettoriale si veda tra gli altri Courant John, Vol.2 ch.1.1-1.8, A.4, 3.1-3.5. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Calcolare le derivate prime delle seguenti funzioni nei punti (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3) rispetto ad ognuna delle variabili:

e^{x^{4}y^{2}z} − xz sin(xy) − 1; \frac{xyz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; \frac{sin(xyz)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; (x^{2} + z^{2}) log(x^{2} + y^{2}); \frac{x sin zy}{200+zy sin x}; \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{4}+1}; calcolare quindi le funzioni derivate rispetto alla prima variabile delle stesse funzioni. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si scriva la matrice Jacobiana delle seguenti funzioni x + 2y + 3z, (x + 2y + 3z, −x), (x + 2y + 3z, x^{2} − y^{3} + z^{4}), (e^{x+y+z+w}, sin(x + log(1 + y^{2} + w^{6}) − z), xyzw).

————————————————————————————————————————– NOTA - per una funzione γ : t ↦ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) da R in R^{3} (o R^{2}) le cui componenti sono derivabili, il vettore “velocità ” dato dalle derivate all’istante t_{0} se non nullo da la direzione tangente alla curva descritta dal cammino γ nel punto γ(t_{0}).

- per una funzione f : (x, y, z) ↦ f(x, y, z) differenziabile in P = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) , se non nullo il vettore delle derivate parziali valutate in P (\frac{∂f}{∂x}(P), \frac{∂f}{∂y} (P), \frac{∂f}{∂z} (P), ) è ortogonale nel punto P all’insieme di livello {(x, y, z) : f(x, y, z) = f(P)}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.3 - Si trovi la tangente nel punto (1, 1) dell’insieme di punti del piano definito da x^{7} + y^{7} − 2 = 0

- Si trovi l’angolo di incidenza in (1, 1) tra le due curve y = x, y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}.

- Si calcolino seno e coseno dell’angolo di incidenza in (1, 1) tra le due curve (x^{3}, x^{7}), (x^{5}, x^{9}).

- Si trovi la normale nel punto (1, 1, 2) alla superifice immagine di (u, v) ↦ (v cos u, v sin u, v^{2}), v > 0

- Si trovino le tangenti nel punto (0, 0) dell’insieme del piano definito da (x^{2}+y^{2})^{2} = 2(x^{2}−y^{2}).

- Si trovi il piano tangente alla sfera di centro (1, 1, 1) e raggio 1 in (1, \frac{1}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}).

- Si trovi la retta ortogonale alla regione {(x, y, z) : log(x^{2} + y^{2} + e) = e^{z}} in (0, 0, 1).

- Si trovi il tangente nel punto (1, 1, −1) dell’insieme di punti definito da x^{7} +2y^{7} +z^{7} −2 = 0 e x^{5} + 2y^{5} + z^{3} − 2 = 0

- Si trovino le tangenti nel punto (0, 0, 0) dell’insieme definito da (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} = 2(x^{2}−y^{2}−z^{2}) e x − y^{2} − z^{2} = 0.

- Si calcoli l’angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati:

{(x, y, z) : 2x^{4} + 3y^{3} − 4z^{2} = −4}, {(x, y, z) : 1 + x^{2} + y^{2} = z^{2}}, (0, 0, 1); {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} = e^{z}}, {(x, y, z) : x^{2} + z^{2} = e^{y}}, (1, 0, 0); {(x, y, z) : xy = z }, {(x, y, z) : cos(2πxy) = z}, (1, 1, 1). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Si disegnino le curve 2y^{2} − x(x − 1)^{2} = 0 e (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{2} − y^{2}), x^{3} + y^{3} − 3axy , a > 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 - Per la curva in R^{3} t ↦ (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π la tangente non è mai parallela al segmento tra i due estremi

- ^{∗} Si mostri che in una curva piana differenziabile ogni corda ha una direzione tangente parallela. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Si studino la continuità, la derivabilità nelle diverse direzioni, e la differenziabilità delle seguenti funzioni:

\sqrt{|xy|}; \sqrt{|x|} cos y; f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} ; f(x,y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} ;

f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{2}}{x} e^{− \frac{y^{2}}{x^{2}}} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix} ; ∫\begin{matrix}y \\ 0 \end{matrix} f(t, x)dt, f ∈ C^{1}(R^{2});

————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 7 Sia f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}. a - Si provi che f è continua su R.

b - Si provi che le derivate di f in R \ {0} sono del tipo funzione razionale moltiplicato f. c - Si provi che f è derivabile infinite volte in x = 0.

d- Si studi se la funzione f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{2}}{x^{3}} e^{− \frac{y^{2}}{x^{4}}} & x≠0 \\ 0 & x=0 \end{matrix} .

ha derivate parziali in ogni punto e si studi la differenziabilità in (0, 0). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Sia f : R^{n} ↦ R differenziabile ovunque e sia x_{0} tale che ∇f(x_{0}) ≠ 0. Dimostrare che la direzione u rispetto a cui:

\frac{∂f}{∂u} |_{x_{0}} = max \{ \frac{∂f}{∂v} |_{x_{0}} : v ∈ R^{n}, ∥v∥ = 1\} è data da u = \frac{∇f(x_{0})}{∥∇f(x_{0})∥}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Sia f ∈ C^{1}(A), con A aperto. Dimostrare che f é positivamente omogenea di grado α (i.e. f(tx) = t^{α}f(x) per ogni x ∈ A) se e solo se αf(x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{x_{i}}(x). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Dato C ⊆ R^{2} si definisce la funzione distanza da C come segue:

d_{C}(x, y) = inf_{(a,b)∈C} \sqrt{|x − a|^{2} + |y − b|^{2}}

Si descrivano, nei seguenti casi, le regioni del piano ove d_{C} é differenziabile:

(a) C = {(0, 0)}; (b) C = {(−1, 0), (0, 1)}; (c) C = {(−1, 0)} ∪ {(1, b) : b ∈ R}; (d) C = {(−1, 0)} ∪ {(a, b) : (a + 1)^{2} + b^{2} = 1}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 - Sia f : R^{2} ↦ R differenziabile ovunque e sia F : R^{+} × R ↦ R definita da: F (ρ, φ) = f(ρ cos φ, ρ sin φ). Verificare che: (F_{ρ}(ρ, φ))^{2} + \frac{1}{ρ^{2}} (F_{φ}(ρ, φ))^{2} = (f_{x}(x, y))^{2} + (f_{y}(x, y))^{2} dove x = ρ cos φ e y = ρ sin φ.

- Sia f : R^{3} ↦ R differenziabile ovunque e sia F : R^{+} ×R×R ↦ R definita da: F (R, φ, θ) = f(R cos θ cos φ, R cos θ sin φ, R sin θ). Si calcolino le derivate di F in funzione di quelle di f.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Sia g = \frac{∂f}{∂y} − \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} . Dato il cambio di coordinate (u, v) = (x, \frac{x}{\sqrt{y}}), esprimere g(x, y) in funzione di u e v . ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 13 Si consideri la funzione f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}. Si provi che

non è due volte differenziabile in (0, 0) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Si provi che (φ, z) ↦ (R cos \frac{φ}{R}, R sin \frac{φ}{R}, z) conserva i prodotti scalari tra le velocità di cammini (e quindi l’angolo e il modulo). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 - Si provi che una trasformazione lineare da R^{2} in R^{3} conserva gli angoli tra vettori se e solo se i trasformati della base canonica sono ortogonali e di egual lunghezza. Si deduca che una trasformazione differenziabile f tra due aperti del piano conserva gli angoli tra curve incidenti in un punto P se e solo se D_{p}f conserva gli angoli tra vettori. -Si deduca che, se t ↦ s(t) ∈]−1, 1[ è una funzione derivabile strettamente crescente, (φ, t) ↦ (\sqrt{1 − s^{2}(t)} cos φ, \sqrt{1 − s^{2}(t)} sin φ, s(t)) è una parametrizzazione della sfera che conserva gli angoli tra curve se e solo se s′(t) = 1 − s^{2}(t)

- Imponendo che s(0) = 0 si provi che s(t) = \frac{e^{2t}−1}{e^{2t}+1}.

- Esprimere la coordinata t così determinata (di Mercatore) con la “latitudine” θ. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 (a) La funzione f(x, y) = \binom{x−yx}{2xy} da R^{2} in se è iniettiva? È surgettiva?

(b) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}+y^{2}}{2xy} = (u, v): si studi l’immagine di f, si studi al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17 Si disegnino le curve 2y^{2} − x(x − 1)^{2} = 0, (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{2} − y^{2}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 a) Si calcoli la derivata \frac{dy}{dx} nei seguenti casi: x^{3}y − y^{3}x = a^{2} , sin xy − e^{xy} − x^{2}y = 0 , x^{y} = y^{x} .

b) Si calcolino le derivate specificate per le seguenti relazioni:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = 1 : \frac{∂z}{∂x} ; z^{3} + 3xyz = a^{3} : \frac{∂z}{∂x} ; e^{z} − xy^{2}z = 0 : \frac{∂z}{∂y}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 19 Sia f(x, y) = \binom{x^{2}−y^{2}}{2xy} = (u, v): si studi l’immagine di f, si studi al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. Si determini le regioni ove il differenziale è invertibile e quindi le regioni ove la funzione è invertibile. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 20 a) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}}{y}, g(x, y) = \binom{x^{3}+xy}{y}: se ne studino le immagini. Si studino le immagini delle regioni ove i differenziali non sono invertibili e come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}, g^{−1}{(u, v)}.

b) Sia f(x, y) = \binom{e^{x+y}−e^{x−y}−k^{2}x}{x+y} = (u, v), k ∈ R: si studi l’immagine di f e al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. Si determini un intorno di (x, y) = (0, 0) in cui f é iniettiva, ed quindi si calcolino (relativamente a tale intorno) \frac{∂x}{∂u}(0, 0) e \frac{∂^{2}y}{∂u∂v}(0, 0).

c) Sia f : R^{5} → R^{2} f(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, y_{3}) = \binom{2e^{x_{1}}+x_{2}y_{1}−4y_{2}+3}{x_{2} cos x_{1}−6x_{1}+2y_{1}−y_{3}}: si verifichi che in un intorno di (0, 1, 3, 2, 7) la regione determinata dalle equazioni f = (0, 0) é un grafico rispetto alle variabili (y_{1}, y_{2}, y_{3}) e si calcoli \frac{∂x_{1}}{∂y_{2}} (3, 2, 7). É possibile esplicitare (x_{1}, x_{2}) in funzione di (y_{1}, y_{2}, y_{3}) in ogni punto di {f = (0, 0)}?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 a) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}−y^{2}}{xy} = (u, v): si trovi un intorno di P_{0} = (1, 1) in cui f é iniettiva.

b) Si calcolino le derivate parziali seconde in U_{0} = (0, 1) = f(1, 1) dell’inversa della funzione f ristretta a tale intorno. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 Sia T : R^{2} ↦ R^{2} una rotazione, cioè una applicazione lineare del tipo

x ↦ Rx, con R = ( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix} )

Detto Δu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}, dimostrare che: Δ(u ∘ R) = (Δu) ∘ R per ogni u ∈ C^{2}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.23 Si esprima Δu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} rispetto alle coordinate polari. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 24 Si identifichi lo spazio M delle matrici n × n con R^{n^{2}}, ordinando in modo lessicografico gli elementi delle matrici.

a) Sia t ↦ A(t) una funzione regolare da ] − 1; 1[ in M tale che A(0) = A e A′(0) = I, ove I è la matrice dell’identità. Si trovi lo sviluppo di Taylor del primo ordine di A(t) in t = 0.

b) Se Σ = {f(A) = 1} si provi che i vettori X ∈ M tangenti ad A ∈ Σ sono quelli per cui tr A^{−1}X = 0.

c) Si consideri la funzione f : M ↦ R definita da f(A) = det A. Si dimostri se f(A) ≠ 0: ∇f(A) = detA (^{t}A)^{−1} (^{t}A indica la trasposta di A).

————————————————————————————————————————– NOTA: Ad una funzione F : R^{2} → R^{2} del tipo F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) si associa la funzione F̃ da C in se: z = x + iy, F̃(z) = f(x, y) + ig(x, y). Tra le funzioni con derivate parziali vi sono quelle che ammettono derivata in senso complesso lim_{h→0, h∈C} \frac{F (z+h)−F (z)}{h}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 25 - Si provi che le funzioni F differenziabili per cui F̃ ha derivata in senso complesso sono tutte e sole quelle per cui \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂g}{∂y} e \frac{∂f}{∂y} = −\frac{∂g}{∂x}.

- Tra le funzioni da R^{2} in se che ammettono derivate parziali continue le uniche che conservano gli angoli tra due curve sono quelle derivabili in senso complesso.