Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2005-2006 Laurea specialistica in Informatica V.M. Tortorelli I prova scritta finale, 6 giugno 2006

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1- Si considerino gli spazi normati A = C([0, 1], R), |f|_{A} = max_{0≤t≤1} |f(t)| e B = C^{1}([0, 1], R), |f|_{B} = max_{0≤t≤1} |g(t)| + max_{0≤t≤1} |g′(t)|. Si calcoli la norma dell’operatore lineare F : f ∈ A ↦ F [f] = g ∈ B definito da

g(x) = ∫_{0}^{x} (∫_{0}^{t} f(s)ds) dt

R.:

2 - Si calcoli il limite lim_{(x,y,z)→(0,0,0)} \frac{log cos xyz}{x^{4} + y^{4} + z^{4}} .

R.: 3- Si dica se la successione di funzioni f_{n}(x) = ∫_{1}^{n} \frac{e^{−xy}}{1+y^{2}} dy converge uniformemente per x ≥ 0.

R.: 4- Si consideri f(x, y) = e^{x+y} − xy: si calcoli \frac{∂x}{∂y}(0) nell’intorno del punto (1, 1).

R.: 5- Si trovino i punti critici di f(x, y, z) = x^{2}(1 − y)^{2}(z + \frac{1}{2})^{2} e se ne determini la natura.

R.: 6- Si calcolino i valori di massimo e minimo di f(x, y) = 2x^{2} + y^{2} per (x + y)^{2} + (x − y)^{2} = 1.

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2005-2006 Laurea specialistica in Informatica V.M. Tortorelli

I prova scritta finale, 6 giugno 2006

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

Si consideri lo spazio normato A = C([0, 1], R), ∥f∥ = max_{0≤x≤1} |f(x)|.

Detto F : f ↦ F [f] = g l’operatore definito da g(x) = ∫_{0}^{x} e^{f(t)}dt, si dimostri che: a- F trasforma elementi di A in elementi di A b- F è continuo c- F è differenziabile in f(x) ≡ 0, determinando l’operatore lineare d_{0}F mediante le

derivate direzionali di F e considerando quindi lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale in una variabile.