Complementi di Analisi Matematica

Laurea Specialistica in Informatica, A.A. 2005-2006

V.M Tortorelli

Corrigenda al compandio sugli spazi metrici

ERRATA  CORRIGE
|f|_{L^{∞}} = sup_{x∈A} |f(x)|  |f|_{sup} = sup_{x∈A} |f(x)|

3(a)-punto 7^{o}, pag.5

|f|_{L^{∞}} < C|f|_{L^{p}}  |f|_{sup} < C|f|_{L^{p}}

3(d), pag.5

|f|_{L^{p}} < (b − a)|f|_{L^{∞}}  |f|_{L^{p}} < (b − a)^{\frac{1}{p}} |f|_{sup}

3(d), pag.5

con potenza p sommabile con potenza p^{a} sommabile (p ≠ ∞)

3(g), Nota pag.6

ADDENDA  f ↦ sup |f|
é una norma sulle funzioni limitate in calce a 3(g), Nota pag.6

COMMENTO

1. Si definisce l’integrale generalizzato alla Riemann come segue:

i- Sia f ≥ 0 per cui min{f, n} sia Riemann integrabile sugli intervalli

ii- Si pone ∫_{R} f(s)ds =: lim_{n→∞} ∫_{−n}^{n} min{f(s), n}ds. Se l’integrale è finito la funzione si dirà sommabile.

iii- Per g di segno variabile, quando abbia senso, si pone ∫_{R} g(s)ds =: ∫_{R} max{g(s), 0}ds − ∫_{R} max{−g(s), 0}ds

2. Si definisce |·|_{L^{∞}} sullo spazio delle funzioni con ‘troncate’ Riemann integrabili come segue:

f ∼ g ⇔ ∀ n ∈ ℕ ∫_{−n}^{n} min{n, |f(t) − g(t)|}dt = 0
|f|_{L^{∞}} = inf{|g|_{sup} : g ∼ f }

- Si ha che | · |_{L^{∞}} é finito sulle funzioni limitate, od equivalenti a limitate: ma non é una norma poiché si annulla su funzioni non nulle. Mentre | · |_{sup} é una norma sullo spazio delle funzioni limitate e suoi sottospazi vettoriali.

- Chiaramente se f é continua si ha |f|_{sup} = |f|_{L^{∞}}.

- La funzione | · |_{L^{∞}} é una norma sullo spazio vettoriale quoziente ottenuto da quello “delle funzioni con troncate Riemann integrabili che siano ∼-equivalenti ad una funzione limitata” rispetto alla stessa relazione ∼.

3. Analogamente | · |_{L^{p}} é una norma sullo spazio vettoriale quoziente rispetto alla relazione ∼, ottenuto da quello delle funzioni con potenza p^{a} sommabile alla Rieamnn in senso generalizzato, su cui non è una norma annulandosi su funzioni non nulle.