Complementi di Analisi Matematica

Laurea Specialistica in Informatica, A.A. 2005-2006

V.M Tortorelli

V^{2}/∼= CLASSI DI EQUVALENZA DI FUNZIONI

V=PIANO REALE ℝ^{2}  V = PIANO COMPLESSO ℂ^{2} RIEMANN INTEGRABILI IN SENSO

GENERALIZZATO E QUADRATO SOMMABILE

lim_{n→∞} ∫_{0}^{2π} min{|f(s)|^{2},n}ds<∞

f∼g⇔∫_{0}^{2π} |f(s)−g(s)|^{2}ds=0

x·y=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}  ω·η=ω_{1}\overline{η_{1}}+ω_{2}\overline{η_{2}}  (f·g)_{L2} :=∫_{0}^{2π} f(s)\overline{g(s)}ds

|x|=\sqrt{x·x}  |ω|=\sqrt{ω·ω}  |f|_{L2} =\sqrt{(f·f)_{L2}}

e^{1}=(1,0) , e^{2}=(1,0)  idem  e^{n}(t):= \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{int} , n∈ℤ
e^{i}·e^{i} = δ_{ij}  idem  (e^{i}·e^{i}) = δ_{ij}
PITAGORA-DESCARTES: un punto  PRIMO PROBLEMA: in che senso ∑_{n}(f·e^{n})e^{n}
si ricostruisce dalle sue componenti  ricostruisce f ?

PRIMO FATTO: (e^{n})_{n∈ℤ} non puó essere una base algebrica di V^{2}

x = (x·e^{1})e^{1} + (x·e^{2})e^{2} idem SECONDO FATTO: non é vero che dato t

∑_{n}(f·e^{n})e^{n}(t)

converga come serie di numeri ad f(t) , anche se f é continua, e anche se convergesse potrebbe non convergere ad f(t)

PRIMO TEOREMA: Se f é integrabile in senso generalizzato alla Riemann e con quadrato sommabile, allora la successione di numeri complessi coniugati {c_{n}(f)}_{n∈ℤ} = {(f·e^{n})}_{n∈ℤ} é in l^{2}. Vale infatti la diseguaglianza dell’energia:

∑_{n=−∞}^{+∞} |(f·e^{n})|^{2} ≤ ∫_{0}^{2π} |f(s)|^{2}ds.

SECONDO TEOREMA: Data {c_{n}}_{n∈ℤ}∈l^{2}, risulta di Cauchy per la norma |·|_{L2} la serie di funzioni: ∑_{n=−N}^{N} c_{n}e^{n}

.

COROLLARIO: Sia f integrabile in senso generalizzato alla Riemann e con quadrato sommabile. Allora risulta di Cauchy per la norma |·|_{L2} la serie di funzioni: S_{N} (f)=∑_{n=−N}^{N} (f·e^{n})e^{n}.

Per completare il quadro si enuncia anche il seguente asserto di validitá assai piú generale: TERZO TEOREMA: Se f é integrabile in senso generalizzato alla Riemann e con quadrato sommabile su [0;2π], allora la serie di funzioni S_{N} (f) converge proprio ad f in norma |·|_{L2}, e vale l’eguaglianza dell’energia (densità dello spazio generato dagli e^{n}, n∈Z) .

SECONDO PROBLEMA: viceversa, data una successione in l^{2}, si puó ricostruire dalla serie ∑_{n=−N}^{N} c_{n}e^{n} (che é di Cauchy in norma |·|_{L2} ) una funzione integrabile in senso generalizzato alla Riemann e con quadrato sommabile? TERZO FATTO: in generale no: poiché lo spazio di tali classi di funzioni non é completo rispetto alla data norma, mentre l^{2} é completo, e la trasformazione f→{c_{n}(f)}_{n∈ℤ} é un’immersione isometrica. TERZO PROBLEMA: come rappresentare il completamento astratto, rispetto alla data norma, dello spazio V^{2}/∼ con un altro spazio di funzioni(a meno di relazioni di equivalenza)? Si puó far questo in modo che vi sia una nozione di integrale su queste nuove funzioni che estenda quella generalizzata alla Riemann?

OSSERVAZIONI: - L’integrazione alla Borel-Lebesgue permette di rispondere a questa come ad altre questioni.

- Il completamento astratto (\overline{M},\overline{d}) di uno spazio metrico (M,d):

\overline{M}=\{x:ℕ→M di Cauchy\}/ ∼, x∼y ⇔ d(x_{n},y_{n})→0, \overline{d}(\overline{x},\overline{y})=lim d(x_{n},y_{n})

é molto poco maneggevole. Non sempre si visualizza ℝ come completamento astratto di ℚ in questi termini.

Dimostrazione del primo teorema: Si ha: (S_{N} · f)_{L^{2}} = (∑_{n=−N}^{N}(f · e^{n})e^{n} · f)_{L^{2}} = ∑_{n=−N}^{N}((f · e^{n})e^{n} · f)_{L^{2}} = ∑_{n=−N}^{N}(f · e^{n})(e^{n} · f)_{L^{2}} = ∑_{n=−N}^{N} |(e^{n} · f)_{L^{2}}|^{2} ∈ ℝ^{+}. D’altronde si ha anche, per le condizioni di ortonormalitá degli e^{n}: ∑_{n=−N}^{N} |(e^{n} · f)_{L^{2}}|^{2} = |S_{N}|_{L^{2}}^{2}. Quindi: 0 ≤ |S_{N} − f|_{L^{2}}^{2} = |S_{N}|_{L^{2}}^{2} + |f|_{L^{2}}^{2} − 2R(S_{N} · f)_{L^{2}} = |f|_{L^{2}}^{2} − |S_{N}|_{L^{2}}^{2}. • Dimostrazione del secondo teorema: Se N ≥ M ≥ 0 si ha: (S_{N} · S_{M})_{L^{2}} = (∑_{n=−N}^{N} c_{n}e^{n} · ∑_{n=−M}^{M} c_{n}e^{n}) = ∑_{n=−N}^{N} ∑_{m=−M}^{M}(c_{n}e^{n} · c_{m}e^{m}) = ∑_{n=−N}^{N} ∑_{m=−M}^{M} c_{n}\overline{c_{m}}(e^{n} · e^{m}) = ∑_{n=−M}^{M} |c_{n}|^{2} = |S_{M}|_{L^{2}}^{2}. Quindi, per N ≥ M ≥ 0: |S_{N} − S_{M}|_{L^{2}}^{2} = |S_{N}|_{L^{2}}^{2} + |S_{M}|_{L^{2}}^{2} − 2R(S_{N} · S_{M})_{L^{2}} = = |S_{N}|_{L^{2}}^{2} − |S_{M}|_{L^{2}}^{2} = ∑_{M=|n|}^{N} |c_{n}|^{2} Basta infine osservare che una serie convergente é di Cauchy.•