Complementi di Analisi Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Laurea Specialistica in Informatica V.M. Tortorelli DIFFERENZIABILITÀ

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TANGENZA A GRAFICI E CURVE: DIFFERENZIABILITÀ DEFINIZIONE Una funzione reale di due variabili reali (x, y) ↦ f(x, y) si dice che ammette derivata parziale rispetto alla prima variabile nel punto (p, q) se la funzione di una variabile t ↦ f(t, q) è derivabile in p. Analogamente rispetto alla seconda variabile considerando la derivabilità in q di t ↦ f(p, t) Per più di due variabili si estende la definizone come segue (x_{1} … x_{k}) ↦ f(x_{1}, … x_{k}) si dice che ammette derivata parziale rispetto all’ i − esima variabile nel punto p = (p_{1} … p_{k}) se la funzione di una variabile t ↦ f(p_{1} … t_{io posto} … p_{k}) è derivabile in p_{i} Nel caso per le derivate parziali si usano le notazioni \frac{∂f}{∂x_{i}} (p), D_{x_{i}}f(p), D_{i}f(p) . DEFINIZIONE Una funzione f : A ⊆ B → C, ove B e C sono spazi normati, si dice che ammette derivata direzionale nella direzione v ∈ B, v ≠ 0, in un punto p del suo dominio A se la funzione di una variabile t ↦ f(p + tv) è derivabile in t = 0. In altre parole se la restrizione della funzione alla retta passante per p e di direzione v, intesa come composizione con la parametrizzazione lineare di tale retta t ↦ p+tv, risulta derivabile. Altrimenti se il grafico di f intersecato il piano verticale per la retta di direzione v e passante per p è il grafico di una funzione derivabile di una variabile. Notazione \frac{∂f}{∂v} (p), D_{v}f(p). OSSERVAZIONE Ammettere derivata parziale rispetto alla variabile i − esima è quindi la stessa cosa che avere derivata direzionale nella direzione dell’i − esimo asse coordinato:

\frac{∂f}{∂x_{i}} (p) = \frac{∂f}{∂e_{i}} (p) OSSERVAZIONE: quindi per calcolare la derivata parziale di una funzione f(x, y, z) di tre variabili rispetto alla seconda variabile nel punto (1, 2, 3) si calcola la funzione in (1, y, 3) e quindi si calcola la derivata di y ↦ f(1, y, 3) per y = 2. OSSERVAZIONE Una funzione vettoriale a valori in R^{k} ammette derivate direzionali se e solo se ciò accade per le sue componenti.

Vale la pena provare la seguente proprietà PROPOSIZIONE Sia A aperto connesso. Allora una funzione che abbia le derivate parziali nulle in ogni punto di A è costante su A. DIM.: dati due punti di A li si può collegare con una spezzata con lati paralleli agli assi. Ma la funzione ristretta a questi lati ha derivata nulla per ipotesi quindi è costante su ognuno dei lati. In particolare ha lo stesso valore nei due arbitrari punti di A. PROBLEMA: Una nozione elementare di tangenza di un iperpiano L ad un insieme C in un comune punto p è la seguente:

(A) detta π_{L}(q) la proiezione ortogonale su L si deve avere lim_{q→p, q∈C} \frac{dist(q,π(q))}{dist(p,q)} = 0. La nozione in uso in diverse teorie (dall’ottimizzazione alla teoria geometrica della misura), che comporta un’operazione di chiusura “mentre si ingrandisce vicino al punto”, è la seguente e porta a considerare il concetto di cono tangente:

(B) K − p = {v : ∃λ_{n} ∈ R∃x_{n} ∈ C x_{n} → p e λ_{n}(x_{n} − p) → v n → ∞} Se vale (A) allora vale (B) e K contiene la parte di L approssimabile con punti di C. Non è detto che per una funzione che in un punto p abbia tutte le derivate direzionali il grafico abbia un piano tangente in (p, f(p)). Anzi la funzione può risultare discontinua in tale punto:

Moltiplicando per x la funzione f si mostra che una funzione continua con tutte le derivate direzionali, ove l’associazione v ↦ D_{v}f pur risulta lineare, comunque può avere grafico senza piano tangente. Il concetto sufficiente per avere un grafico con piano tangente è quello di approssimazione lineare della funzione: DEFINIZIONE Sia f : A ⊆ R^{k} → R^{m}. p interno ad A. La funzione f si dice differenziabile in p se vi è una funzione lineare L_{p} : R^{k} → R^{m} ((L_{p}(v))_{i} = ∑_{1≤j≤k} a_{ij}v_{j}, 1 ≤ i ≤ m, l’approssimante lineare) per cui

f(x) = f(p + v) = f(p) + L_{p}(x − p) + ε con lim_{x→p} \frac{|ε|}{|x − p|}

Nel caso si usa la notazione L_{p} = df_{p}: tale applicazione lineare si dice differenziale di f in p Per esemplificare nel caso k = 2, m = 1, p = (x_{0}, y_{0}) devono esistere due numeri a, b per cui

lim_{(x,y)→(x_{0},y_{0})} \frac{f(x, y) − f(x_{0}, y_{0}) − a(x − x_{0}) − b(y − y_{0})}{\sqrt{(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2}}} = 0

il differenziale di f in p è quindi l’applicazione lineare (u, v) ↦ au + bv = (a, b) · (u, v) La nozione si estende nel caso di una funzione f : A ⊆ B → C, ove B e C sono spazi normati e p è interno ad A. La funzione f si dice differenziabile in p se vi è una funzione lineare e continua L_{p} : B → C per cui

f(x) = f(p + v) = f(p) + L_{p}(x − p) + ε con lim_{x→p} \frac{|ε|_{C}}{|x − p|_{B}}

OSSERVAZIONE: immediatamente confrontando le definizioni nel caso k = 1 si ha che una funzione vettoriale di una variabile è differenziabile se e solo se è derivabile

Una funzione vettoriale di una variabile derivabile x ↦ f(x) se per un valore del parametro z si ha f′(z) ≠ 0 allora l’immagine di un intervallo sufficientemente piccolo attorno a z ha tangente nel punto f(z) data dall’immagine del cammino lineare t ↦ f(z) + tf′(z): poichè vi è differenziabilità f(x) = f(z) + f′(z)(x − z) + ε con |ε|/|x − z| → 0 per x → z. Quindi confrontando la distanza tra un punto dell’immagine dalla sua proiezione ortogonale sulla retta in questione:

\frac{|f(x) − (((f(x) − f(z)) · \frac{f′(z)}{|f′(z)|}) \frac{f′(z)}{|f′(z)|} + f(z))|}{|f(x) − f(z)|} = \frac{|ε − (ε · \frac{f′(z)}{|f′(z)|}) \frac{f′(z)}{|f′(z)|} |}{|f′(z)(x − z) + ε|} ≤ \frac{2|ε|}{|f′(z)(x − z) + ε|}

infinitesimo (analoga la prova che il grafico di una funzione differenziabile ha piano tangente)

- Se in un punto f(y) “ci si ferma” (“velocità ” nulla f′(y) = 0) in effetti si può ripartire con inclinazione diversa: e.g. f(x) = (x^{3}, |x|x^{2}), x = y = 0, la cui immagine è il grafico del modulo che non ha una sola tangente in (0, 0).

- D’altronde un cammino può ripassare con diversa inclinazione per punti ove è “già ” passato, per questo il vettore derivata nonnullo da la tangente solo all’immagine di un segmento abbastanza piccolo: e.g. f(x) = (cos x, sin 2x)

“passa” da (0, 0) sia per x = y_{1} = π/2 che per x = y_{2} = 3π/2 ma con velocità sghembe.

- Per un cammino derivabile con derivata sempre nonnulla ed iniettivo vi è quindi tangente in ogni punto dell’immagine. Il grafico di una funzione di una variabile x ↦ g(x) derivabile può essere visto come immagne di un cammino vettoriale x ↦ f(x) = (x, g(x)) che è sempre iniettivo e con vettore derivata f′(x) = (1, g′(x)) sempre nonnullo. Quindi per il grafico di una funzione f di più variabili differenziabile in un punto p i cammini t ↦ (p + tv, f(p + tv)) hanno immagini con tangente nel punto (p, f(p)) data dalla retta s ↦ (p + sv, f(p) + s\frac{∂f}{∂v} (p)) = \frac{d(p+tv,f(p+tv))}{dt} (s).

OSSERVAZIONE: in dimesione finita se la funzione è differenziabile in un punto allora esistono tutte le derivate parziali: per l’osseravzione precedente e la definizione di differenziabilità con x = p + te_{i} Si ottiene che (df_{p}v)_{i} = ∑ \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (p)v_{j}. Ovvero la matrice associata all’applicazione lineare differenziale è qualla che ha come righe le derivate parziali delle funzioni componenti. In generale se f è differenziabile in p allora ha le derivate direzionali in p e \frac{∂f}{∂v} (p) = df_{p}v OSERVAZIONE: ovviamente se una funzione rispetto a date norme su B e C, lo è anche se si considerano norme equivalenti. NOTAZIONE: nel caso m = 1 se una funzione è differenziabile in p il vettore con componenti le derivate parziali si dice gradiente della funzione nel punto e si scrive ∇f(p). Le derivate direzionali sono quindi v · ∇f(p) In generale la matrice con m righe e k colonne associata al differenziale di una funzione da R^{k} in R^{m}, (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (p))_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤k}} si dice matrice Jacobiana, indicata anche con \frac{∂f}{∂x} (p), in maniera suggestiva

se si unifica con la notazione y = f(x) si ottiene \frac{∂y}{∂x}. OSSERVAZIONE Per una funzione differenziabile ∇f(p) se non nullo da la direzione di massima crescita della funzione nel punto: max_{|v|=1} lim_{t→0,t>0} \frac{f(p+tv)−f(p)}{t} = |∇f(p)| TEOREMA 1 Se f : A ⊆ R^{k} → R^{n} è differnziabile in p allora il grafico di f ha nel punto (p, f(p)) un piano k dimensionale tangente che è il grafico traslato nel punto (p, f(p)) della funzione lineare differenziale in p: cioè il grafico di x ↦ f(p) + ∑ \frac{∂f}{∂x_{j}} (p)(x_{j} − p_{j}). Per esemplificare nel caso k = 2 ed m = 1, funzioni di due variabili a valori reali, il piano tangente al grafico in (p, q, f(p, q)) è il grafico della funzione lineare affine

(x, y) ↦ f(p, q) + \frac{∂f}{∂x} (p,q)(x − p) + \frac{∂f}{∂y} (p,q)(y − q). Come luogo di zeri in R^{3} è

\frac{∂f}{∂x} (p.q)x + \frac{∂f}{∂y} (p,q)y − z − \frac{∂f}{∂x} (p,q)p − \frac{∂f}{∂y} (p,q)q + f(p, q) = 0 Un asserto utile nella teoria è il seguente:

LEMMA Se una funzione nei punti c di un segmento S(p, q) di estremi p e q ha derivata nella direzione v = p − q e allora

|f(p) − f(q)|_{C} ≤ sup_{t∈[0;1]} |D_{p−q}f(t(q − p) + p)|_{C} Dato un funzionale ψ lineare e continuo su C, si tratta di applicare il Teorema di Lagrange alla funzione g(t) = ψ(f(p + t(q − p))) e considerare che |v|_{C} = sup_{ψ} \frac{|ψ(v)|}{|ψ|_{c′}}, assumendo che in astratto vi sono funzionali continui non nulli in una dato punto.

Per il calcolo effettivo utilizzando le derivate parziali e la verifica che una funzione è differenziabile una condizione sufficiente, se pur non necessaria, è data dal seguente teorema. TEOREMA 2 (Differenziale totale) Se f ha derivate direzionali in un intorno di un punto p, v ↦ D_{v}f(p) è lineare, ed f è continua in p allora è differenziabile nel punto p. In dimensione finita: una funzione che ha tutte le derivate parziali in una palla di centro un punto p interno al suo dominio di definizione, continue nel punto p è differnziabile almeno nel punto stesso. TEOREMA 3 Un funzione differenziabile in p è continua in p. DEFINIZIONE Sia A aperto di uno spazio normato B. Sia f una funzione a valori in uno spazio normato C e differenziabile in ogni punto di A. La funzione che associa ad un punto di A il differenziale di f in quel punto si dice funzione differenziale o funzione tangente alla funzione f. Identificando lo spazio vettoriale delle funzioni lineari da B = R^{k} in C = R^{m} con R^{mk} la funzione differenziale è individuata dalla funzione da A in R^{mk} data da x ∈ A ↦ (D_{1}f_{1}(x), … D_{k}f_{1}(x), …, D_{1}f_{m}(x) … D_{k}f_{m}(x))

REGOLE PER LE FUNZIONI DIFFERENZIABILI

Dalla derivabilità delle funzioni elementari di una variabile, dai seguenti asserti e dal teorema del differenziale totale si può riconoscere la differenziabiltà di molte funzioni PROPOSIZIONE Le funzioni costanti sono differenziabili in ogni punto e il loro differnziale è la funzione lineare nulla. PROPOSIZIONE Le funzioni lineari affini x ↦= Ax + b =: f(x) con A lineare e continuo sono differenziabili in ogni punto p il loro differenziale è indipendente dal punto ed è la parte lineare della funzione stessa v ↦ Av. In dimensione finita con le coordinate si avrà

(x_{1} … x_{k}) ↦ (a_{11}x_{1} + … a_{1k}x_{k} + b_{1}, … a_{m1}x_{1} + … a_{mk}x_{k} + b_{m}) = Ax + b =: f(x)

df_{p}(v) = (a_{11}v_{1} + … a_{1k}v_{k}, … a_{m1}v_{1} + … a_{mk}v_{k}) = Av. In effetti si ha f(x) = f(p) + A(x − p) con resto nullo, ovvero per funzioni a valori reali di due variabili affini ax + by + c le derivate parziali sono rispettivamente le funzioni costanti a e b che sono ovviamente continue. PROPOSIZIONE Il prodotto di due funzioni a valori reali differenziabili in p è differenziabile in p e vale la formula analoga a quella delle derivate: d(f · g)_{p} = f(p)dg_{p} + g(p)df_{p} Questo si generalizza come segue: B : B ×D → C bilineare e continua |B(u, v)|_{C} ≤ c|u|_{B}|v|_{D}, tra spazi normati, allora è differenziabile e

dB_{(u,v)}(h, k) = B(u, k) + B(h, v)

TEOREMA 4 (Differenziale di una funzione composta, Regola della catena) Siano f : A ⊆ B → O ⊆ C, g : O → D, y = f(x) Se g è differenziabile in y = f(p) ed f è differenziabile in x = p allora la funzione composta g∘f, x ↦ g(f(x)) =: g∘f(x) : A → R^{h} è differenziabile in p. Il suo differenziale è dato dall’iterazione dei differenziali: dg∘f_{p}(v) = dg_{f(p)}(df_{p}(v)) In particolare B = R^{k}, C = R^{m}, D = R^{h} vale la seguente regola della catena per le derivate parziali:

\frac{∂g(f(x))}{∂x_{i}}(p) = ∑_{1≤j≤m} \frac{∂g}{∂y_{j}} (f(p))\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} (p) = ∑_{1≤j≤m} \frac{∂g}{∂y_{j}} \frac{∂y_{j}}{∂x_{i}}

COROLLARIO Se f e df_{p} sono invertibili con continuità allora vi è df_{f(p)}^{−1} = (df_{p})^{−1}, i.e.

\frac{∂x}{∂y} = (\frac{∂y}{∂x})^{−1}. OSSERVAZIONE: ne segue che le funzioni differenziabili su un dato insieme a valori in uno spazio normato sono uno spazio vettoriale: per esempio x ↦ f(x) + g(x) si vede come composizione di (u, v) ↦ u + v (lineare) con x ↦ (f(x), g(x)). OSSERVAZIONE Considerando un luogo di zeri C = {x : f(x)−f(p) = 0} di una funzione differenziabile f con differenziale non nullo in p si osserva che per ogni direzione v tangente in p a C è ortogonale al gradiente ∇f(p). Infatti se si considera una curva γ : [−1; 1] ↦ C, γ′(0) = v, γ(0) = p si ha t ↦ f(γ(t)) = f(p) costante e quindi con derivata nulla per cui dalla regola della catena si ha ∇f(p) · v = 0. Quindi se ci fosse piano tangente a C in p necessariamente sarebbe il piano di equazione

f (p)+(x_{1}−p_{1}) \frac{∂f}{∂x1} (p)...+(x_{n}−p_{n}) \frac{∂f}{∂xn} (p)=0