Complementi di Analisi Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Laurea Specialistica in Informatica V.M. Tortorelli DIFFERENZIABILITÀ 2

Si enunciano i principali teoremi di rango in dimensione finita e il teorema di invertibilità locale in spazi di Banach.

TANGENTE AD IMMAGINI

Come già osservato, data una funzione vettoriale di una variabile derivabile x ↦ f(x) ‘ se per un valore del parametro z si ha f′(z) ≠ 0 allora l’immagine di un intervallo sufficientemente piccolo attorno a z ha tangente nel punto f(z) data dall’immagine del cammino lineare t ↦ f(z) + tf′(z): poichè vi è differenziabilità f(x) = f(z) + f′(z)(x − z) + ε con |ε|/|x − z| → 0 per x → z.

- Per le immagini di funzioni vettoriali f di più variabili differenziabili vale il seguente: TEOREMA 5 (del rango) Sia f : A ⊆ R^{k} → R^{k+h} con derivate parziali continue. Se la matrice del differenziale df_{p} ha rango massimo (l’immagine dell’applicazione lineare (t_{1} … t_{k}) ↦ df_{p}(t_{1} … t_{k}) ha dimensione k) vi è una palla B_{r}(p), centro p e raggio r , per cui: 1- l’immagine della palla f(B_{r}(p)) è grafico di una funzione differenziabile con derivate continue rispetto al k-piano per l’origine di R^{m} immagine del differenziale (localmente grafico) 2- il k-piano tangente in f(p) a f(B_{r}(p)) è il traslato di questo

f(p) + t_{1} \frac{∂f}{∂x_{1}} (p) … + t_{k} \frac{∂f}{∂x_{k}} (p) = f(p) + df_{p}(t_{1} … t_{k}) cioè i vettori delle derivate parziali \frac{∂f}{∂x_{1}} (p), … \frac{∂f}{∂x_{k}} (p) sono base del k-piano tangente in f(p). Per superficie in R^{3} (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) il tangente in f(p) in coordinate cartesiane è dato dalla condizione di ortogonalità ((x, y, z)−f(p))· \frac{∂f}{∂x_{1}} (p)∧ \frac{∂f}{∂x_{2}} (p)=det((x, y, z)−f(p), \frac{∂f}{∂x_{1}} (p), \frac{∂f}{∂x_{2}} (p))=0

TANGENTE A LUOGHI DI ZERI

Dato l’insieme di livello C = {x : f(x) = f(p)} di una funzione a valori reali differenziabile in un punto p si conisdera un cammino derivabile γ : [−1, 1] → C tutto in C che all’istante t = 0 passi per p con velocità v non nulla (γ(0) = p, γ′(0) = v). Poichè tale cammino sta in C la funzione t ↦ f(γ(t)) risulta essere costante. La sua derivata è nulla. per cui γ′_{1}(0)\frac{∂f}{∂x_{1}} (p) + … + γ′_{k}(0)\frac{∂f}{∂x_{k}} (p) = 0 cioè ∇f(p) è ortogonale a tutte le direzioni tangenti a curve che giacciono su {f(x) = f(p)}. Necessariamente se l’insieme di livello avesse un piano tangente in p dovrebbe essere l’ortogonale alla direzione individuata da ∇f(p).

Il seguente teorema asserisce che per una funzione differenziabile con derivate continue se \frac{∂f}{∂v} (p) ≠ 0 allora l’insieme che passa per p ove f è costante, \{x : f(x) = f(p)\}, “vicino a p” è il grafico rispetto all’iperpiano ortogonale alla direzione v di una funzione con derivate continue. Si considera come direzione quella dell’ultima coordinata, e, dato x = (x_{1}, … x_{k}) ∈ R^{k}, si pone x′ = (x_{1}, … x_{k−1}), x′′ = x_{k}, identificando x con (x′, x′′).

TEOREMA 6(Teorema del Dini delle funzioni implicite) Sia f : A ⊆ R^{k} → R con derivate continue. Se \frac{∂f}{∂x_{k}} (p) ≠ 0 vi sono: R > 0, r > 0, φ : B_{R}(p′) → [p_{k} − r, p_{k} + r] = B_{r}(p′′) per cui:

1- x_{k} = x′′ = φ(x′) ⇔ |x′ − p′| ≤ R, |x′′ − p′′| ≤ r e f(x) = f(x′, x′′) = f(p)

2- φ è differenziabile con derivate continue e dalla regola della catena si ha

\frac{∂x_{k}}{∂x_{i}} (p′) = \frac{∂φ}{∂x_{i}} (p′) = − \begin{matrix}\frac{∂f}{∂x_{i}} & (p) \\ \frac{∂f}{∂x_{k}} & (p) \end{matrix}

COROLLARIO Nelle precedenti ipotesi l’insieme {x : f(x) − f(p) = 0}, luogo di zeri, ha piano tangente in p dato dal luogo di zeri del differenziale traslato in p:

(x_{1} − p_{1})\frac{∂f}{∂x_{1}} (p) + … + (x_{k} − p_{k})\frac{∂f}{∂x_{k}} (p) = (x − p) · ∇f(p) = df_{p}(x − p) = 0 OSSERVAZIONE: i seguenti esempi mostrano che le precisazioni nell’enunciato sono necessarie. Con k = 2 e f(x, y) = x^{2}−y^{2}, p = (0, 0) il livello zero della funzione è dato da due rette incidenti che non sono grafico rispetto ad alcuna direzione in nessun rettangolo contenente p . Con f(x, y) = x − sin y si vede che è necessario restringere il luogo di zeri anche nella direzione dei valori della funzione implicita perchè sia un grafico. Con f(x, y) = x^{2} + y^{2} e p = (0, 1) si vede che è necessario restringersi nel dominio. OSSERVAZIONE: se la derivata direzionale rispetto a v è nonnulla in p allora il livello della funzione per p in un “cilindro retto” con altezza parallela a v è un grafico

Più in generale vale il seguente teorema delle funzioni implicite che permette di identificare i tangenti agli insimei di soluzioni di sistemi di equazioni. Il precedente teorema rientra nel seguente enunciato con m = 1 e h = (k − 1).

Si introducono le seguenti notazioni:

Se f : A ⊆ R^{m+h} → R^{m} e x_{j_{1}}, … x_{j_{m}} sono m distinte variabili tra quelle di x = (x_{1} … x_{k}) con \frac{∂f}{∂(x_{j_{1}}...x_{jm})} (p) si indica (\frac{∂f_{i}}{∂x_{jr}} (p))_{{1≤i≤m \atop 1≤r≤m}}, la matrice quadrata m × m estratta dalla matrice

Jacobiana di f scegliendo solo le colonne delle derivate rispetto alle m variabili prescelte.

In termini più geometrici significa che si sta considerando la restrizione del differenziale di f in p al sottospazio generato da e_{j_{1}} … e_{j_{m}}. Più in generale se W è un sottospazio di dimensione r generato da v_{1} … v_{r} con \frac{∂f}{∂W} (p) o \frac{∂f}{∂(w_{1}...w_{r})} (p) si indica la restrizione di df_{p} a W.

A livello di differenziali \frac{∂f}{∂W} (p) è il differenziale in 0 della funzione di r variabili s = (s_{1}, … s_{r}) ↦ f(p + s_{1}v_{1} + … + s_{r}v_{r}) = g(s) che si identifica con il differenziale in p della restrizione di f a p + W.

Se x ∈ R^{m+h} si identifica con (x′, x′′), ove x′ ∈ R^{h} sono le prime h coordinate di x e x′′ ∈ R^{m} le ultime m coordinate di x. TEOREMA 7 Sia f : A ⊆ R^{m+h} → R^{m} con derivate continue. Se df_{p} ha rango massimo, ovvero la sua immagine ha dimensione m, per esempio det (\frac{∂f}{∂x_{1+h}} (p) … \frac{∂f}{∂x_{m+h}} (p)) ≠ 0 allora vi sono:

R > 0, r > 0, φ : B_{R}(p′) → B_{r}(p′′) per cui:

1- x′′ = φ(x′) (x_{h+j} = φ_{j}(x_{1} … x_{h}), 1 ≤ j ≤ m) ⇔ |x′′ − p′′| ≤ r e f(x) = f(x′, x′′) = f(p)

2- φ è differenziabile con derivate continue. Poichè x′ ↦ f(x′, φ(x′)) è costante ha derivate nulle, dalla regola della catena si ha considerando le funzioni coordinate di f e φ come colonne

\frac{∂f_{r}}{∂x_{i}} +∑_{1≤j≤m} \frac{∂f_{r}}{∂x_{h+j}} \frac{∂φ_{j}}{∂x_{i}} = 0 cioè \frac{∂f}{∂x_{i}} +\frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})} \frac{∂φ}{∂x_{i}} = 0 quindi \frac{∂φ}{∂x_{i}} = − (\frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})})^{−1} \frac{∂f}{∂x_{i}}

cioè dφ_{x′} = \frac{∂x′′}{∂x′} = − (\frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})} (x′,φ(x′)))^{−1} \frac{∂f}{∂(x_{1}...x_{h})} (x′,φ(x′))

e dalla regola di Cramer si ha \frac{∂x_{h+j}}{∂x_{i}} (p′) = \frac{∂φ_{j}}{∂x_{i}} (p′) = −\frac{det_{\frac{∂f}{∂(x_{h+1}..._{j^{o} posto} x_{i}...x_{h+m})}} (p)}{det \frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})} (p)}

OSSERVAZIONE: a meno di un cambiamento di coordinate si ha che se il differenziale df_{p} ristretto ad un sottospazio W di dimensione m risulta invertibile, considerato V il sottospazio di dimensione h per cui ogni x ∈ R^{h+m} sè eguale a x_{v} +x_{w} con x_{v} ∈ V e x_{w} ∈ W e x_{v} ·x_{w} = 0 allora vi sono R, r per cui {f(x) = f(p)} ∩ (V ∩ B_{R}(p_{v}) × W ∩ B_{r}(p_{w})) è il grafico rispetto a V di una funzione φ e dφ_{x_{v}} = − (\frac{∂f}{∂W} (x))^{−1} · \frac{∂f}{∂V} (x)

TEOREMA DI INVERTIBILITÀ LOCALE

Il caso limite in dimensione finita dei teoremi di rango e delle funzioni implicite è il seguente teorema di invertibilità locale. Questo teorema come i precedenti hanno validità anche in spazi di Banach, ma la sua enunciazine nell’ambito più generale è più chiara.

TEOREMA 8: (Invertibilità Locale) Sia F : A ⊆ B → C differenziabile con continuità, ove B e C sono due spazi di Banach: x ↦ F (x) = y. Se dF_{p} è lineare limitata invertibile da B a C con inversa limitata: ovvero

λ|v|_{B} ≤ |d_{p}F (v)|_{C} ≤ Λ|v|_{B}

allora vi è R > 0 per cui :

1) B_{R}(p) ⊆ A, F ristretta a B_{R}(p) è invertibile, F (p) è interno a F (B_{R}(p))

2) se F è differenziabile k volte tale risulta la su “inversa locale”.

Detta g la restrizione di F a B_{R}(p) dalla regola per il differenziale di una funzione composta si ha per ogni y ∈ F (B_{R}(p)) d_{y}g^{−1} = (d_{g^{−1}(y)}g)^{−1} OSSERVAZIONE - l’assunzione che l’inversa del differenziale sia un applicazione lineare continua è in realtà superflua derivando da un teorema astratto (della mappa aperta).

- un’ipotesi “puntuale ” che sostituisce la differenziabilità con continutà è che esista solo d_{p}F con uniformità della stima dell’errore

lim_{(x,z)→(p,p)} \frac{|F (x)−F (z)−d_{p}F (x−z)|_{C}}{|x−z|_{B}} = 0

in tal caso si ha solo che F è localmente invertibile nel senso specificato in 1) e la sua inversa risulta differenziabile solo in F (p).

- La differenziabilità in ogni punto con funzione differenziale continua, garantisce la condizione sopracitata applicando la diseguaglianza del valor medio alla funzione F (x) − d_{p}F (x).

- La sola differenziabilità nel punto con diffrenziale invertibile non garantisce l’invertibiltà locale come mostra il seguente esempio: x ∈ R , F (x) = 2x^{2} sin \frac{1}{x} + x, p = 0. OSSERVAZIONE - In dimensione finita B = C = R^{m} la condizione di invertibilità del differenziale è equivalente a det (\frac{∂F_{i}}{∂x_{j}} (p))_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m}} ≠ 0

- Quindi grazie al teorema di Cramer si ha:

\frac{∂x_{i}}{∂y_{j}} = \frac{∂(g^{−1})_{i}}{∂y_{j}} (y) = (−1)^{i+j} \frac{det \frac{∂(F_{1}...F_{j−1},F_{j+1}...Fm)}{∂(x_{1}...x_{i−1}x_{i+1}...xm)} (g^{−1}(y))}{det \frac{∂F}{∂(x_{1}...xm)} (g^{−1}(y))} = (−1)^{i+j} \frac{det \frac{∂(y_{1}...y_{j−1},y_{j+1}...ym)}{∂(x_{1}...x_{i−1}x_{i+1}...xm)}}{det \frac{∂y}{∂x}}

OSSERVAZIONE - Per dedurre il teorema delle funzioni implicite usando il teorema di invertibilità locale si deve assumere, oltre alla surgettività di d_{p}f, che esista un sottospazio chiuso D per cui B = Ker d_{p}f ⨁ D, fatto sempre vero negli Hilbert e in dimensione finita considerando l’ortogonale al nucleo del differenziale che di per se è chiuso per definizione. Quindi per ipotesi ogni elemento x ∈ B si scompone in modo unico x′ + x′′ ∼ (x′, x′′). Non solo: detta I l’identità su Ker d_{p}f e Π la proiezione su Ker d_{p}f parallela a D si considera F = f + I · Π, per l’ipotesi fatta si ha che Π risulta continua. Quindi si applica a tale F il teorema di invertibilità locale x′′ = F^{−1}(f(x) = x′) − x′.

- Analogamente assumendo, oltre all’iniettività di d_{p}f, che Im d_{P} f sia chiusa e vi sia un sottospazio chiuso D per cui C = Im d_{p}F ⨁ D si ottiene il teorema del rango considerando F B × D → C, F (x, d) = f(x) + d. OSSERVAZIONE - Alcune dimostrazioi del teorema di invertibilità locale si basano sostanzialmente sul teorema di punto fisso con parametri.

- A tal riguardo un lemma inetressante è il seguente: se g è una funzione da A aperto di B spazio di Banach in B per cui |g(x) − g(z)| ≤ c|x − z| con c < 1, allora x ↦ x + g(x) è invertibile e la sua inversa soddisfa |g^{−1}(y) − g^{−1}(w)| ≤ \frac{|y−w|}{1−c}. Quindi si applica il lemma a g(x) = (d_{p}F)^{−1} F (x) − x.

- Direttamente considerando che si vuole risolvere y = F (x) per x e y abbastanza vicini a p e f(p) rispettivamente, si può considerare equivalentemente il problema di trovare un punto fisso per (d_{p}F)^{−1} (y − F (p)). Il procedimento di approssimazione dato dal teorema delle contrazioni da una successione di approssimazioni della soluzione cercata x_{n+1} = x_{n} −d_{F}^{−1}(f(x_{n})−y) che può essere visto come un metodo delle secanti “parallele” al differenziale in p.