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%  II   A P P E L L O ,  7.2.2003
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\def\data{7.2.03}
\def\intestazione{Secondo appello, 7 febbraio 2003}

\SEZIONE{1}
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% TESTO
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\primapart
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   %
\spazio\item{1.}
Trovare una primitiva di $e^{|x|}$.
   %
   %
\spazio\item{2.}
Determinare il dominio della funzione
$f(x)= \log\big(1+\sqrt{x^2-1} \big)$.
   %
   %
\spazio\item{3.}
Determinate la parte
principale di $\dps{\sin(x^8) \over \log(1+x^4)}$ per $x\to 0$.
   %
   %
\spazio\item{4.}
Determinare $a\in\R$ tale che
$\dps\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)-x}{x^2}$ esiste ed \`e finito,
e calcolarlo.
   %
   %
\spazio\item{5.}
Calcolare
$\dps\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{2x}-e^x$ e
$\dps\lim_{x\to-\infty} x^4 2^x$.
   %
   %
   %
\spazio\item{6.} Calcolare $\dps\int_{-2}^6   \root 3 \of {x+2} \, dx$.
   %
   %
\spazio\item{7.} Risolvere $y''+4y=0$ con dati iniziali  $y(0)=1$, $y'(0)=-2$.
   %
   %
\spazio\item{8.} Sia $f(x)$ la funzione in figura.
Disegnare il grafico di $f(|x|)$ e di $|f(x)|$.
\medskip
\centerline{\figureps{EA-03-02-07-secondoappellot1}}
   %
   %













\secondapart
   %
   %
\spazio\item{1.}
a)~Dato $\lambda\in (0,1)$, calcolare il valore minimo di
$f(x):=x^{1-\lambda} + x^{-\lambda}$ per $x\in(0,+\infty)$.
\acapo
b)~Trovare la pi\`u grande costante $C$ per cui vale la seguente 
diseguaglianza:
$$
a+b \ge Ca^\lambda b^{1-\lambda}
\quad\hbox{per ogni $a,b$ reali positivi.}
$$
c)~Come nel punto b), ma con $a,b$ interi positivi.
\acapo
d)~Come nel punto b), ma con $a,b$ potenze (intere positive) di $2$ e 
$\lambda=3/4$.
   %
   %
\spazio\item{2.}
Si consideri, per $x>0$, l'equazione lineare del secondo ordine
$$
y'' + {y' \over x} - a {y \over x^2} =c(x)
\eqno (*)
$$
a)~Risolvere (*) per $a=1$ e $c(x)=0$ (suggerimento:
cercare soluzioni della forma $y=x^\lambda$).
\acapo
b)~Risolvere (*) per $a$ reale e $c(x)=0$.
\acapo
c)~Risolvere (*) per $a>0$ e $c(x)=x$.
   %
   %
\spazio\item{3.}
Calcolare il numero $\log(12/10)$ con un errore inferiore a $10^{-3}$.
   %
   %
\spazio\item{4.}
Calcolare, al variare di $a\in [0,+\infty)$, l'area della regione 
limitata del piano
compresa tra la curva di equazione $y=(-x^2+4x-3)^{-1}$ e la retta di 
equazione $y=a$.
   %
   %














\FINESEZIONE




\SEZIONE{2}
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%
% SOLUZIONI
%
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\primapart
   %
   %
\spazio\item{1.}
Una primitiva $f$ \`e data da $f(x):=e^x-1$ per $x \ge 0$ e $f(x):=-e^{-x}+1$
per $x<0$. Infatti $f$ deve essere della forma $e^x+a$ per $x \ge 0$ e della
forma $-e^{-x}+b$ per $x \le 0$, quindi $a$ e $b$ devono essere scelti
in modo tale che le due funzioni coincidano in $0$, vale a dire $a+1=b-1$.
   %
   %
\spazio\item{2.}
Deve essere $x^2-1\ge 0$, ovvero $x\ge 1$ e $x\le -1$.
   %
   %
\spazio\item{3.}
$\dps {\sin(x^8) \over \log(1+x^4)} = {x^8+o(x^{23}) \over x^4 + 
o(x^7)} \sim x^4$.
   %
   %
\spazio\item{4.}
$\dps{\sin(ax)-x \over x^3} = {(a-1)x+o(x^2) \over x^2}$. Il limite
\`e finito solo per $a=1$, e in tal caso vale $0$.
   %
   %
\spazio\item{5.}
Sono $+\infty$ e $0$, rispettivamente.
   %
   %
\spazio\item{6.}
$\dps\int_{-2}^6   \root 3 \of {x+2} \, dx
=\int_0^8 t^{1/3} \, dt
=\Big| {3\over 4} t^{4/3}\Big|^8_0
=12$.
   %
   %
\spazio\item{7.}
La soluzione generale dell'equazione \`e $y=a\cos(2x)+b\sin(2x)$ con 
$a,b\in\R$.
Le condizioni iniziali danno $y=\cos(2x) - \sin(2x)$.
   %
   %
\spazio
\item{8.}
\par
\centerline{\figureps{EA-03-02-07-secondoappellofig1}}
   %
   %





\secondapart
   %
   %
\def\la{\lambda}
\spazio\item{1.}
a)~La funzione $f$ tende a $+\infty$ per $x\to 0^+$ e $x\to+\infty$,
e studiandone la derivata si vede che \`e strettamente descrescente
per $x\le x_\la$, e strettamente crescente per $x\ge x_\la$,
dove $x_\la:=\la/(1-\la)$. Dunque il valore minimo viene
assunto in $x_\la$, ed \`e
$$
C_\la:=f(x_\la)={1\over \la^\la(1-\la)^{1-\la}}
$$
b)~Dividendo entrambe i termini per $b$ e ponendo $a/b=x$, la disequazione
$a+b \ge Ca^\lambda b^{1-\lambda}$ pu\`o essere riscritta come
$x+1\ge Cx^\lambda$, ovvero $f(x)\ge C$. La miglior costante \`e dunque
il minimo dei valori $f(x)$ per $x>0$, e cio\'e $C_\lambda$.

\spazio\item{}
c)~Si procede come nel punto b): la costante miglire \`e allora il minimo
dei valori $f(x)$ con $x$ rapporto di interi positivi, ovvero con $x$
razionale positivo. Siccome $f$ \`e continua ed i razionali 
approssimano i reali,
tale valore minimo \`e di nuovo $C_\lambda$
(per essere precisi, dovremmo parlare in questo caso dell'estremo inferiore
dei valori $f(x)$ con $x$ razionale positivo, in quanto il punto $x_\lambda$
in cui $f$ raggiunge il valore $C_\lambda$ potrebbe non essere razionale).

\spazio\item{}
d)~Si procede come nel punto b): la costante miglire \`e allora il minimo
dei valori $f(x)$ con $x$ rapporto di potenze intere positive di $2$,
ovvero con $x$ della forma $2^n$ con $n$ intero relativo. Per $\la=3/4$,
$x_\la=3$, che non \`e una potenza di $2$. Dunque il valore minimo
viene raggiunto in $2$ oppure in $4$. Siccome $f(2)=2^{1/4}/2$
\`e minore di $f(4)= 2^{1/2}\cdot 3/4$, la costante cercata \`e
$f(2)=2^{1/4}/2$.
   %
   %
\spazio\item{2.}
b)~Per $c=0$, l'equazione $(*)$ \'e lineare omogenea del secondo 
ordine, e dunque
l'insieme delle soluzioni \`e uno spazio vettoriale di dimensione $2$;
basta dunque trovarne due linearmente indipendenti (cio\`e che non siano
una multipla dell'altra). Prendendo $y$ della forma $x^\la$, l'equazione
diventa $(\la^2-a)x^{\la-2}=0$, ed \`e verificata se e solo se $\la^2=a$.
Dunque, per $a>0$, due soluzioni di $(*)$ sono $x^{\pm\sqrt a}$,
e la soluzione generale \`e
$$
y=\alpha x^{\sqrt a}+ \beta x^{-\sqrt a}
\quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.}
$$
Per $a<0$, le radici di $a$ sono immaginarie: $\pm i\sqrt{-a}$.
Quindi
$$
x^{\pm i\sqrt{-a}}=e^{\pm i\sqrt{-a} \, \log x}=
\cos(\sqrt{-a} \, \log x) \pm i \sin(\sqrt{-a} \, \log x) \ .
$$
La soluzione generale di $(*)$ \`e
$$
y=\alpha \cos(\sqrt{-a} \, \log x) + \beta \sin(\sqrt{-a} \, \log x)
\quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.}
$$
Per $a=0$, l'equazione diventa $y''-y/x=0$, e ponendo $y'=z$ otteniamo
l'equazione a variabili separabili $z'=z/x$, che ha per soluzione
$z=\alpha/x$ con $\alpha\in\R$. Infine
$$
y=\alpha \log x + \beta
\quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.}
$$
c)~Per risolvere l'equazione non omogenea, basta trovare una soluzione
particolare. Prendendo $y$ della forma $y=\gamma x^3$, l'equazione
diventa $(9-a)\gamma x=x$ (la scelta dell'esponente $3$ \`e obbligata
dal fatto che il termine a sinistra dell'equazione deve essere un
multiplo di $x$). Dunque, per $a\ne 9$, la soluzione generale
\`e
$$
y=\alpha x^{\sqrt a}+ \beta x^{-\sqrt a} +{1\over 9-a}x^3
\quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.}
$$
Per $a=9$, si pu\'o ricorrere alla riduzione dell'ordine
(omettiamo i conti).
   %
   %
\spazio\item{3.}
Usando lo sviluppo di Taylor di $\log(1+x)$ all'ordine $3$ per $x:=2/10$
otteniamo
$$
\log \Big( {12\over 10} \Big)
={2\over 10} -{1\over 2} \cdot {4\over 100}
+ {1\over 3} \cdot {8\over 1000} +R_3 \Big( {2\over 10} \Big)
$$
e
$$
\Big| R_3 \Big( {2\over 10} \Big)\Big|
={1\over 4}\cdot {1\over (1+\xi)^4} \cdot {16\over 10^4}
\le {4\over 10^4}
< 10^{-3} \ .
$$
   %
   %
\spazio
\lineafigura{.2}{\figureps{EA-03-02-07-secondoappellofig2}}
\spazio
{\rightskip 4 cm
\item{4.}
Siccome $-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$, ed il problema \`e chiaramente invariante per
traslazioni orizzontali, possiamo sostituire la curva $y=(-x^2+4x-3)^{-1}$
con $y=(1-x^2)^{-1}$. Poich\'e $1-x^2$ \`e positiva nell'intervallo
$(-1,1)$, nulla in $\pm 1$ e negativa altrove, il grafico di $(1-x^2)^{-1}$
risulta essere come in figura.
A questo punto, la regione che ci interessa \`e vuota per $a<1$, mentre per
$a\ge 1$ la sua area \`e data dal seguente integrale, dove si \'e posto
$\alpha:=\sqrt{1-1/a}$:
$$
\eqalign{
A
=\int_{-\alpha}^\alpha a-{1\over 1-x^2} \, dx
& =2\alpha a + \int_0^\alpha {1\over x-1} - {1\over x+1} \, dx \cr
& =2\alpha a +\log\Big( {1-\alpha\over 1+\alpha} \Big) \ . \hskip 4 cm\cr
}
$$
\par
}
   %
   %





\errori

\spazio\item{$\circ$}
Esercizio 1, prima parte: moltissimi errori.
   %
   %
\spazio\item{$\circ$}
Esercizio 2, seconda parte: una soluzione pi\`u elegante si ottiene 
con il cambio
di variabile $t=\log x$. Ponendo infatti $z(t)=z(\log x)=y(x)$, 
l'equazione $(*)$
diventa $z''-az=c(e^t) \, e^{2t}$, che \`e lineare a coefficienti costanti.
   %
   %

\FINESEZIONE


