Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 20 febbraio 2003 al 25 febbraio 2003

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ESERCIZIO n. 1 Calcolare : \frac{1}{4i − 3}, \frac{6i + 4}{(7 + 3i)^{2}} , (\sqrt{3} + i)^{6}, (1 + i)^{60}, |π − \sqrt{2}|, |\frac{1 + i\sqrt{5}}{2 + i\sqrt{5}}|

Scrivere in coordinate polari i numeri complessi 2 − i2, \sqrt{3} + i, (\frac{1 + i}{1 − i})^{3} , (1 − \sqrt{3})^{14}

Calcolare : ((1 + i)^{n} + (1 − i)^{n}) , (\frac{1 + i}{1 − i})^{n}

Dimostrare : Imz = \frac{z − \overline{z}}{2i} , Rez = \frac{z + \overline{z}}{2} , |z|^{2} = z\overline{z}, \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} , |z + w| ≤ |z| + |w|

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ESERCIZIO n. 2 Risolvere: z^{5} = \sqrt{3}−i, z^{3} = 8, z^{4}+1 = i\sqrt{3}, z^{2}+5z+8 = 0, z^{2}+iz+i−3 = 0, z^{3} − 3iz^{2} − 4z + 2i = 0, iz^{3} = |z|, z^{2} + |z| + 1 = 0, z^{2} + \overline{z}^{2} = |z|^{2}, z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = 0 Disegnare le regioni del piano complesso ripettivamente specificate dalle seguenti condizioni: |z − 1| ≤ 1 − |z|, |z − \overline{z}| ≤ |z + \overline{z}|, |\frac{z−1}{z+1} | ≤ 1, |z|^{4} = z^{2} + \overline{z}^{2}

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ESERCIZIO n. 3 Dimostrare che se z_{1}·. . . z_{n} ≠ 0 si ha: |z_{1} + … z_{n}| = |z_{1}| + … |z_{n}| ⟺ \frac{z_{i}}{z_{j}} > 0

Se ne dia un’interpretazione geometrica.

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ESERCIZIO n. 4 Si provi che il prodotto di somme di due quadrati di numeri interi è la somma di due quadrati di numeri interi.

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ESERCIZIO n. 5 a- Dati v, z, w ∈ C si provi che l’area del triangolo che li ha come vertici è \frac{1}{2} |Im(w − v)\overline{(z − v)}|

b- Dati due numeri complessi z e w si dia un’interpretazone geometrica a Rez\overline{w} e a Imz\overline{w}.

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ESERCIZIO n. 6 Le soluzioni di z^{n} = 1 sono e_{h+1} = e^{i2π \frac{h}{n}}, 0 ≤ h < n. Per quali h si ha che {e_{h+1}, … e_{h+1}^{n}} = {e_{1}, … e_{n}}?

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ESERCIZIO n. 7 a- Si definisce e^{z} = e^{Rez}e^{iImz}. Dato z ∈ C si trovino le soluzoni di w = e^{z}. b- Si disegni la regione determinata da |e^{z} − 1| ≤ 1 e la sua immagine tramite z ↦ e^{z}.

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ESERCIZIO n. 8 a- Si provi che un polinomio con coefficienti reali ha radici non reali complesse coniugate. b- Si provi che ogni polinomio a coefficienti reali è prodotto di potenze di binomi di primo

grado e di potenze di somme di numeri positivi con quadrati di binomi di primo grado. c- Si trovi una primitiva di \frac{1}{t^{4}+1} .

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ESERCIZIO n. 9 Una funzione da R in C si dice derivabile se lo sono le sue componenti. In particolare e(t) = e^{it} lo è ed è l’unica soluzione di e′(t) = ie(t) per cui e(0) = 1.

Se z^{2} + bz + c = (z − μ)(z − λ), si provi che tutte e sole le soluzioni dell’equazione differenziale u′′(t) + bu′(t) + cu(t) = (D^{2} + bD + cI)u(t) = 0, sono del tipo αe^{iμt} + βe^{iλt}, o del tipo αe^{iμt} + βte^{iμt}, al variare di α e β tra tutti i numeri complessi.

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ESERCIZIO n. 10 a- Dati α, β ∈ C e λ ≠ 1 mostrare che |z − α| = λ|z − β| determina una circonferenza. b- Cosa determina |z − α| = |z − β|? c- Le funzioni z ↦ \frac{αz+β}{γz+δ} o sono costanti o trasformano cerchi e rette in cerchi o rette. d- Trovare l’immagine del cerchio unitario e della bisettrice pricipale mediante l’applicazione z ↦ \frac{1}{2}(z + z^{−1}).

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ESERCIZIO n. 11 a- Identificando C con R^{2} e dato w ∈ C l’associazione z ↦ w · z definisce un’applicazione lineare da R^{2} in se. Si caratterizzino le matrici reali 2 × 2 che corrispondono alla moltiplicazione per un numero complesso.

b- Da considerazioni elementari si ottiene che una trasformazione del piano in se che mantiene le distanze e ha tre punti fissi non allineati è l’identità.

c- Si provi che tutte e sole le trasformazioni del piano in se che mantengono le distanze e hanno l’origine fissa sono del tipo z ↦ w · z o z ↦ w · \overline{z}, con |w| = 1. In particolare sono lineari.