Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 25 febbraio 2003 al 4 Marzo 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html ⟶ El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Risolvere o provare: n^{n} ≥ n! ≥ 2^{n}, 2^{n} − 2 ≥ n^{2}, n ≥ 5; 3^{n} ≥ n2^{n}, n ≥ 2; ∑_{k=1}^{n} 2k = n(n + 1); ∑_{k=1}^{n} k^{2} =?; ∑_{k=1}^{n} k^{3} =? = (∑_{k=1}^{n} k^{2})^{2} ; ∑_{k=1}^{n} 2k − 1 = n^{2}; ∑_{k=1}^{n}(2k − 1)^{2} = \frac{n(4n^{2}−1)}{3}; (1 + a)^{n} ≥ 1 + na + \frac{n(n−1)}{2}a^{2}, a ≥ 0; (1 + a)^{n} ≥ 1 + na, a ≥ −1; ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi dei seguenti sottoinsiemi di R:

]0; 1], [1; 4[∩(]0; 2[∪]3; 5]), ⋃_{n∈N} [\frac{1}{n}; 1 − \frac{1}{n}]; ⋂_{n∈N} ]\frac{1}{n}; n[ , ⋃_{m∈N} ⋂_{n∈N} ]\frac{1}{n + m}; m + n[ ,

\{x : |x^{2} + 1| < |x − 3| − 1\}, \{x : |x^{6} − 1| ≤ −x^{3} + 1\}, \{x : \frac{x+1}{|x−2|} − 2x > 0\}, \{x : \frac{x+1}{|x−2|} − 2|x| > 0\}, \{x : log x^{2} ≥ log(2x − 1)\} ∩ Q, \{x : log_{x}(2x − 1) ≥ 2\}

⋂_{y∈R}{x : |x + y| + y ≤ 2}; ⋃_{y∈R}{x : |x + y| + y ≤ 2};

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi delle seguenti funzioni e successioni a valori in R: 7n^{3} − n^{4}, n ∈ N; 7n^{6} − n^{8}, n ∈ N; 7x^{6} − x^{8}, x ∈ R; sin \frac{1}{n}, n ∈ N; \sqrt{n} − [\sqrt{n}], n ∈ N;

\frac{x^{6} + x^{4} + 1}{x^{4} + 2x^{2} − 3}, x^{4} + 2x^{2} − 3 ≠ 0; \frac{n^{6} + n^{4} + 1}{n^{4} + 2n^{2} − 3}, n ∈ N n^{4} + 2n^{2} − 3 ≠ 0; (x^{2} + 1)e^{−(x^{2}−1)}, x ∈ R;

\frac{n + 1}{n}, n ∈ N; \frac{2m}{m^{2} + 1}, m ∈ Z; (−n)^{n} + \frac{1}{n}, n ∈ N; n + \frac{1001}{n}, n ∈ N; x^{2} + \frac{1001}{x^{2} + 1}, x ∈ R

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi delle seguenti funzioni e successioni a valori in R:

n cos mπ − \frac{3}{2 + n}, m, n ∈ N; \frac{n^{2} − m^{2}}{m^{2} + n^{2}} , m, n ∈ N; \frac{(x^{2} + y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}} , xy > 0; \frac{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3}}{x^{2}y^{2}z^{2}} , xyz > 0

|\frac{|z| − 1}{z − 1}| , z ∈ C z ≠ 1; \frac{|z + w|^{2}}{|zw|} , z, w ∈ C; |\frac{z + 1}{z − 1}| , z ∈ C e |e^{z+2} − \frac{1}{2}| ≤ \frac{1}{2}

sup\{|u(x)−u(0)|; x ∈ [0; 1]\}, al variare di u tra le funzioni per cui sup \{|\frac{du}{dx}(x)|; x ∈ [0; 1]\} = 1 ∫_{0}^{1} |u(x)|dx al variare di u tra le funzioni per cui sup{|u(x)|; x ∈ [0; 1]} < 1 NOTAZIONE:

A + B = {x ∈ R : ∃a ∈ A, b ∈ B x = a + b}, λA = {x ∈ R : ∃a ∈ A x = λa}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Provare che: a - se A ⊆ B allora sup A ≤ sup B e inf B ≤ inf A; b - sup A ∪ B = max{sup A, sup B}, inf A ∪ B = min{inf A, inf B}, sup ⋃_{i∈I} A_{i} = sup_{i∈I} sup A_{i};

c - sup A + B = sup A + sup B, sup −A = − inf A, sup γ^{2}A = γ^{2} sup A; d - se f : I → R, g : I → R allora: sup_{x,y∈I} f(x) + g(y) = sup_{x∈I} f(x) + sup_{x∈I} g(x) ≥ sup_{x∈I} f(x) + g(x).

Si provi che la diseguaglianza è necessaria, e si trovi e provi un analogo enunciato per l’estremo inferiore;

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ESERCIZIO n. 6 a - Se 0 ≤ x e ∀ε > 0x ≤ ε allora x = 0. b - Ogni sottogruppo additivo G di R o è un sottoinsieme denso o ha un minimo elemento positivo g_{0} > 0, e tale g_{0} genera G, cioè G = g_{0}Z. c - Due numeri reali a, b hanno rapporto irrazionale se e solo se aZ + bZ è un sottogruppo denso di R.

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ESERCIZIO n. 7 PRINCIPIO DI INDUZIONE Partendo dagli assiomi di R ed da quello dell’esistenza di intersezioni infinite si identifica l’insieme dei numeri naturali come segue: N = ⋂{A ⊆ R : 1 ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A}. a - Si provi con questa definizione di N che se A ⊆ N, 1 ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A allora A = N. b- Si dimostri che ogni sottoinsieme di N ha minimo.

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ESERCIZIO n. 8 a - Si provi che per ogni n ∈ N la funzione x ↦ x^{n}, x ≥ 0 è bigettiva da R^{+} in se. b - Detta y ↦ y^{\frac{1}{n}} la sua inversa che (y^{m})^{\frac{1}{n}} = (y^{\frac{1}{n}})^{m}. Il comune valore è indicato con y^{\frac{m}{n}}.

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ESERCIZIO n. 9 Dato n ∈ N e considerati a_{1}, … a_{n} numeri reali non negativi si consideri la diseguaglianza:

\frac{a_{1} + … + a_{n}}{n} ≥ ^{n}\sqrt{a_{1} … a_{n}}

a - Si provi che se vale per n vale per 2n, che se vale per n vale per tutti i suoi predecessori e si concluda provando che è vera per ogni n ∈ N. b - Fissato n per quali a_{1}, … a_{n} vi è eguaglianza.

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ESERCIZIO n. 10 Fissato x ∈ R, si provi (eventualmente considerando i risultati dei due

precedenti esercizi) che la successione (1 + \frac{x}{n})^{n} è crescente per n ≥ x, che (1 + \frac{1}{n})^{n+1} è decrescente, e quindi che la prima è limitata superiormente.