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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} \\

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}

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\centerline{II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 25 febbraio 2003 al  4 Marzo 2003}
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\noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$
El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03


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ESERCIZIO n. 1 ~Risolvere o provare:

\noindent  $n^n\geq n!\geq 2^n,~2^n-2\geq n^2,~n\geq 5;~3^n \geq n2^n ,~n\geq 2;~ $

\noindent $\sum_{k=1}^n 2k =n(n+1);~ \sum_{k=1}^n k^2=?;~ \sum_{k=1}^n
k^3= ?= \left(\sum_{k=1}^n k^2\right)^2 ;~\sum_{k=1}^n 2k-1 =n^2;$

\noindent $\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 =
\frac{n(4n^2-1)}3;~ (1+a)^n\geq 1+na + \frac {n(n-1)}2
a^2,~ a\geq 0; ~ (1+a)^n\geq 1+na, ~ a\geq -1;$






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ESERCIZIO n. 2 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono
 valori massimi o minimi dei seguenti sottoinsiemi di ${\bf R}$:
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\noindent $\displaystyle{ ]0;1],~[1;4[\cap (]0;2[\cup ]3;5]),~\bigcup_{n\in{\bf
N}}\left[ \frac 1n ; 1-\frac 1n\right] ;~ \bigcap_{n\in{\bf
N}}\left]\frac 1n ; n\right[ ,~  \bigcup_{m\in {\bf N}}\bigcap_{n\in{\bf
N}}\left]\frac 1{n+m} ; m+n\right[, ~ }$
\smallskip

\noindent $ \{ x:~\vert x^2+1\vert<\vert x-3\vert-1\},~
\{ x:~ \vert x^6-1\vert\le -x^3 +1\}
,~\{ x:~ \frac{x+1}{\vert
x-2\vert} -2x>0\},~$
\smallskip

\noindent$\{ x:~ \frac{x+1}{\vert
x-2\vert} -2\vert x\vert >0\},~\{ x:~ \log x^2 \geq\log (2x -1)\}\cap {\bf Q},~
\{ x:~\log_x (2x -1) \geq 2\}
$
\smallskip

\noindent$\displaystyle{\bigcap_{y\in{\bf R}}\{ x:~ \vert x+y\vert +y \le
2\};~\bigcup_{y\in{\bf R}}\{ x:~ \vert x+y\vert +y \le 2\}
};$

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ESERCIZIO n. 3  Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono
 valori massimi o minimi delle seguenti funzioni e successioni a valori in
 ${\bf R}$:
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\noindent $7n^3-n^4,~ n\in {\bf N};~
7n^6-n^8,~ n\in {\bf N};~7x^6-x^8,~ x\in {\bf R};~\sin \frac1n ,~n\in{\bf N};~
\sqrt{n} -[\sqrt{n}] ,~n\in{\bf N} ;$
\smallskip

\noindent $\displaystyle{\frac{x^6+x^4 +1}{x^4+2x^2-3},~x^4+2x^2-3\not=0;~
\frac{n^6+n^4 +1}{n^4+2n^2-3},~n\in{\bf N} ~n^4+2n^2-3\not=0; ~(x^2+1)e^{-(x^2-1)},~
x\in{\bf R};}$

\smallskip

\noindent $\displaystyle{\frac{n+1}{n},~n\in {\bf N};~~\frac{2m}{m^2+1},~ m\in{\bf
Z};~~(-n)^n+\frac{1}n,~n\in{\bf N};~~n+\frac{1001}n,~n\in{\bf
N};~~x^2+\frac{1001}{x^2 +1},~x\in{\bf R}
}$
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ESERCIZIO n. 4 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono
 valori massimi o minimi delle seguenti funzioni e successioni a valori in
 ${\bf R}$:


\noindent $\displaystyle{n\cos m\pi -\frac 3{2+n},~m,~n\in {\bf N};~ \frac {n^2
-m^2}{m^2+n^2},~ ~m,~n\in {\bf N};~\frac {(x^2+y^2)^2}{x^2y^2},~xy>0;
~\frac {(x^2+y^2+z^2)^3}{x^2y^2z^2},~xyz>0
}$
\smallskip

\noindent $\displaystyle{\left\vert\frac{\vert z\vert-1}{z-1}\right\vert,~
z\in{\bf C}~ z\not=1;~\frac{\vert
z+w\vert^2}{\vert zw\vert},~z,~w\in{\bf C};~\left\vert\frac{z+1}{z-1}\right\vert ,
~z\in{\bf C}~{\rm e}~
\left\vert e^{z+2}-\frac12\right\vert\le\frac12 }$

\smallskip

\noindent$\sup\{ \vert u(x)-u(0)\vert ;x\in [0;1]\}$,~al ~variare~di $u$ 
tra~le~funzioni~per~cui
$\displaystyle{\sup\left\{ \left\vert \frac {du}{dx}(x)\right\vert ;x\in
[0;1]\right\}= 1}$

\smallskip

\noindent$\displaystyle{\int_0^1 \vert u(x)\vert dx}$  al ~variare~di $u$ tra~
le~funzioni~per~cui
 $\sup\{ \vert u(x)\vert ;x\in [0;1]\}<1$


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\vfill
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\noindent {\bf NOTAZIONE}:

$A+B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a+b\}$, 
 $\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$. 


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ESERCIZIO n. 5 Provare che:

\noindent a - se $A\subseteq B$ allora $\sup A\le \sup B$ e $\inf B\le \inf A$;

\smallskip

\noindent b - $\sup A\cup B =\max\{ \sup A ,\sup B\}$, 
$\inf A\cup B =\min\{ \inf A ,\inf B\}$, 
$\displaystyle{\sup \bigcup_{i\in I} A_i =\sup_{i\in I}\sup A_i}$;

\smallskip

\noindent c - $\sup A+B =\sup A+ \sup B$, $\sup -A =-\inf A$, 
  $\sup \gamma^2 A= \gamma^2 \sup A$; 
%$\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$, ~
%$A\cdot B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a\cdot b\}$,
%posto $-A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~ x=-a\}$, 
%$\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$, ~
%$A\cdot B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a\cdot b\}$,

 


\smallskip

\noindent d - se $f:I\rightarrow {\bf R}$, $g:I\rightarrow {\bf R}$ allora:
$\displaystyle{\sup_{x, y\in I} f(x) +g(y) = \sup_{x\in I} f(x) +
\sup_{x\in I} g(x) \geq \sup_{x\in I} f(x) +g(x)}$.

\noindent Si provi che la diseguaglianza \`e necessaria, 
e si trovi e provi un analogo enunciato per l'estremo inferiore;


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ESERCIZIO n. 6  

\noindent a - Se $0\le x$ e  
$\forall \varepsilon> 0 x\le \varepsilon $ allora $x=0$.

\noindent b - Ogni sottogruppo additivo $G$ di ${\bf R}$ o \`e un sottoinsieme 
 denso o  ha un minimo elemento positivo $g_0>0$, e tale $g_0$ genera $G$, 
cio\`e  $G=g_0{\bf Z}$. 


\noindent c - Due numeri reali $a$, $b$ hanno rapporto irrazionale se e solo se 
$a{\bf Z}+ b{\bf Z}$ \`e un sottogruppo denso di ${\bf R}$.










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ESERCIZIO n. 7 {\bf PRINCIPIO DI INDUZIONE} Partendo dagli assiomi di ${\bf  R}$ ed da
 quello dell'esistenza di intersezioni infinite si identifica l'insieme dei numeri
naturali come segue:
 $\displaystyle{{\bf N}=
\bigcap \{ A\subseteq {\bf R}:~ 1\in A,~ x\in A\Rightarrow x+1\in A\}}$.

\noindent a - Si provi con questa definizione di ${\bf N}$ 
 che se $A\subseteq {\bf N}$, $1\in A$, 
$x\in A\Rightarrow x+1\in A$ allora $A={\bf N}$.



\noindent b- Si dimostri che ogni sottoinsieme di ${\bf N}$
 ha minimo.

%Come si ``costruisce'' ${\bf R}$ a
% partire da ${\bf N}$  cos\`\i \ dato ${\bf  R}$ si definisce formalmente   
%$\diplaystyle{{\bf N}=
%\bigcap \{ A\subseteq {\bf R}:~ 1\in A,~ x\in A\Righatrrow x+1\in A\}$.

%\noindent a - Si provi che $1\in {\bf N}$, 
%$x\in {\bf N}\Rightarrow x+1\in {\bf N}$, ovvero ${\bf N}$ \`e il 
%pi\`u piccolo sottoinsieme di ${\bf R}$ a cui appartiene $1$ 
%e chiuso per successore; 


 






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ESERCIZIO n. 8  

\noindent a -
 Si provi che per ogni $n\in {\bf N}$ la funzione $x\mapsto x^n$, $x\geq
0$ \`e bigettiva da ${\bf R}^+$ in se.


\noindent b -  Detta $y\mapsto y^{\frac 1n}$ la sua inversa che $(y^m)^{\frac
1n}=(y^{\frac 1n})^m$. Il comune valore \`e indicato con  $y^{\frac mn}$.
%provare che la funzione $y\mapsto y^{\frac mn}$ 
%\`e crescente.



%\noindent b - Dati $a>1$, $x\in{\bf R}$ si definisce $f(x)=
%a^x =\sup\{ a^{\frac mn}:~ 0\le \frac mn \le
%x\}$. Si provi che per $x$ razionale coincide con la funzione sopra definita, 
% che $a^{x+y} =a^x a^y$, che non 
%solo \`e crescente ma vale anche 
%$\sup f(A)= f(\sup A )$ per $A\subseteq {\bf R}$, e che \`e
%surgettiva da ${\bf R}$ su $]0;+\infty [$.


%\noindent c - Si provi che $x\mapsto a^x$, $a>1$ \`e l'unica funzione per cui  
%$\sup f(A)= f(\sup A )$, $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(1)=a$.
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ESERCIZIO n. 9  Dato $n\in {\bf N}$ e considerati  $a_1 ,\ldots a_n $ 
numeri reali non negativi  si consideri la diseguaglianza:

$$\frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}~\geq ~ ^n\!\!\sqrt{a_1\ldots a_n}$$


\noindent a - Si provi che se vale per $n$ vale per  $2n$, 
che se vale per $n$ vale per tutti i suoi predecessori e 
si concluda provando che \`e vera per ogni $n\in {\bf N}$.

\noindent b - Fissato $n$ per quali $a_1 ,\ldots a_n $ vi \`e eguaglianza.









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ESERCIZIO n. 10  Fissato $x\in {\bf R}$, si
 provi (eventualmente considerando i risultati dei due precedenti esercizi) 
 che la successione $\displaystyle{\left( 1+\frac xn \right)^n}$
\`e crescente per $n\geq x$, 
 che $\displaystyle{\left( 1+\frac 1n \right)^{n+1}}$ \`e decrescente, e quindi che la
prima \`e limitata superiormente.










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\end{document}

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ESERCIZIO n. 11  




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ESERCIZIO n. 12







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ESERCIZIO n. 13
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serie complesse elementari 

esponenziale complessa come limite




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ESERCIZIO n. 14
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ESERCIZIO n. 15
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ESERCIZIO n. 16
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ESERCIZIO n. 17
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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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\end{document}






