Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli III foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 6 marzo 2003 al 13 marzo 2003

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ESERCIZIO n. 1 a - Calcolare i seguenti limiti senza usare le funzioni esponenziali e logaritmiche, cercando di usare la definizione di limite, diseguaglianze e le principali proprietà dei limiti:

n \sqrt{a}, a > 0; ^{n} \sqrt{n}, (si provi inoltre che è decrescente); ^{n} \sqrt{n^{k}}, k ∈ Z; (1 + \frac{a}{n} + \frac{b}{n^{2}} )^{n}, a, b ∈ R;

\frac{(n + 1)^{k} − n^{k}}{n^{k−1}} , k ∈ Z \ \{0\}; sin a_{n}, \frac{sin a_{n}}{a_{n}} , \frac{1 − cos a_{n}}{a_{n}^{2}} , a_{n} → 0

b - Calcolare gli stessi usando gli elementi di calcolo noti. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 2 Calcolare i limiti delle seguenti successioni

n \sqrt{n!}; ^{n} \sqrt{a^{n} + b^{n}}, a ≥ |b|; ^{n}\sqrt{2^{n} + 6^{n^{2}}}; ^{n} \sqrt{3^{n} + 2^{2n+3}}; ^{n} \sqrt{\sqrt{n} − 2 ·^{3}\sqrt{n − 1}}, (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}, (1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}, (cos \frac{1}{n})^{n}, (cos \frac{1}{\sqrt{n}})^{n}, (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})^{n}, (1 − \frac{1}{\sqrt{n}})^{n}, (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}, (1 − \frac{1}{n})^{n^{3}}, (1 + \frac{1}{2n−1})^{n} ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 Si provino le seguenti implicazioni, e si mostri che le implicazioni inverse non sono vere. a - b_{n} > 0, ^{n} \sqrt{b_{n}} ⟶ l > 1, (< 1) ⇒ b_{n} ⟶ +∞, (0) esponenzialmente.

b - b_{n} > 0, \frac{b_{n+1}}{b_{n}} ⟶ l > 1, (< 1) ⇒ b_{n} ⟶ +∞, (0) esponenzialmente.

c - a_{n} > 0, a_{n} ⟶ l ∈ [0; +∞] ⇒ \frac{a_{1} + … + a_{n}}{n} , ^{n} \sqrt{a_{1} … a_{n}} ⟶ l.

d - a_{n} > 0, \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ⟶ l ∈ [0; +∞] ⇒ ^{n} \sqrt{a_{n}} ⟶ l.

e - a_{n} ⟶ ±∞, a_{n+1} − a_{n} ⟶ l ∈ \overline{R} ⇒ \frac{a_{n}}{n} ⟶ l.

f * - a_{n} ⟶ {±∞ \atop (0)}, {b_{n+1}>b_{n}⟶+∞ \atop (b_{n}>b_{n+1}⟶0)}, \frac{a_{n+1} − a_{n}}{b_{n+1} − b_{n}} ⟶ l ∈ \overline{R} ⇒ \frac{a_{n}}{b_{n}} ⟶ l.

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ESERCIZIO n. 4 Calcolare il limiti all’infinito delle seguenti successioni (in alcuni casi converrà usare i crtieri del precedente esercizio):

\frac{2^{n}n!}{n^{n}}; \frac{3^{n}n!}{n^{n}}; \frac{(n!)^{2}}{n^{n}}; \frac{(2n)!}{n^{n}}; \frac{(2n)!}{n^{2n}}; \frac{(2n)!}{(2n)^{n}}; \frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}; ^{n} \sqrt{\frac{n!}{n^{n}}}; ^{n} \sqrt{\frac{(2n)!}{n^{n}n!}}; k^{n} \frac{(n!)^{2}}{(2n + 1)!}, k ∈ R \ \{4\};

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{p}}, p ∈ Q; \frac{n log n}{log n!}; \frac{1 + 2^{k} … + n^{k}}{n^{k+1}} ; \frac{1 + \frac{1}{2} … + \frac{1}{n}}{n}

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ESERCIZIO n. 5 Si provi che 4^{n} \frac{(n!)^{2}}{(2n + 1)!} è decrescente e che il suo estremo inferiore è

non nullo.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 a - Si provi per induzione n! ≥ (\frac{n}{e})^{n}. b - Utilizzando lo sviluppo di Taylor per log(1 + x) si provi che per ogni α < \frac{1}{2}: definitivamente 1 ≥ (n + α) log (1 + \frac{1}{n}) e quindi definitivamente n!(\frac{e}{n})^{n} \frac{1}{n^{α}} è crescente. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Si calcoli il limite l ∈ R di \{ \begin{matrix}a_{n+1} = \frac{a_{n}+ \frac{x}{an}}{2} \\ a_{1} > 0, a_{1}^{2} > x > 0 \end{matrix} . Si valuti l’infinitesimo |a_{n} − l|.

Si provi che ∃ lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} ove: \{ \begin{matrix}a_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n}}, b_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2} & se n ≥ 1 \\ a_{1} < b_{1} \end{matrix}

Si provi che la successione \{ \begin{matrix}a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} & se n ≥ 1 \\ a_{1} = 1, \end{matrix} diverge. Si calcoli lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{n^{k}} , k ∈ N ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 8 * Studiare la convergenza della successione: \{ \begin{matrix}a_{n+1} = α^{a_{n}} & se n ≥ 1 \\ a_{1} = α > 0 \end{matrix} —————————————————————————— —————————————— ESERCIZIO n. 9 a - Dato M > 0, studiare la convergenza \{ \begin{matrix}a_{n+1} = a_{n} − Ma_{n}^{2} & se n ≥ 1 \\ a_{1} = α \end{matrix} b * - Studiare la convergenza di n^{β}a_{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Si consideri la successione \sqrt{n} − [\sqrt{n}], n ∈ N. a - Si provi che non converge. b * - Quali sono tutti i valori limite di sottosuccessioni della successione data? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Una successione di numeri complessi z_{n} ∈ C, n ∈ N converge ad un numero complesso z ∈ C se e solo se: ∀ ε ∃ν ∀n ≥ ν |z_{n} − z| ≤ ε , cioè se e solo se |z_{n} − z| → 0. Provare: a - z_{n} → z ⇔ Rez_{n} → Rez e Imz_{n} → Imz ⇔ |z_{n}| → |z| e argz_{n} + 2k_{n}π → argz. b - se z = x+iy ∈ C, (1 + \frac{z}{n})^{n} → e^{x}(cos y + i sin y). (Si assuma che (1 + \frac{a}{n})^{n} → e^{a}, a ∈ R).