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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} 

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}


\centerline{III foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 6 marzo 2003 al  13 marzo 2003}
\medskip
\noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$
El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1 

\noindent a - Calcolare i seguenti  limiti senza usare le funzioni esponenziali e
 logaritmiche, cercando di usare la definizione di limite, diseguaglianze 
 e le principali propriet\`a dei
 limiti:

\noindent $^n\!\!\!\sqrt a ,~a>0$;  $^n\!\!\!\sqrt n$, 
(si provi inoltre che \`e
decrescente); $^n\!\!\!\sqrt{n^k},~k\in {\bf Z}$;   
$\displaystyle{\left( 1+\frac an
+\frac b{n^2} \right)^n}$, $a,~b\in {\bf R}$;


\noindent $\displaystyle{\frac{(n+1)^k -n^k}{n^{k-1}},~ k\in{\bf Z}\setminus\{0\};~\sin a_n ,~ 
\frac{ \sin a_n}{a_n} ,~ \frac{1-\cos a_n}{{a_n}^2}~,
a_n\rightarrow 0}$

\smallskip



\noindent b - Calcolare gli stessi  usando gli
elementi di calcolo noti.


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ESERCIZIO n. 2 Calcolare i limiti delle seguenti successioni 
\smallskip

\noindent $^n\!\!\!\sqrt{n!}$;~~ $^n\!\!\!\sqrt {a^n + b^n} ,~a\geq \vert b\vert$;
  $^n\!\!\sqrt{2^n +6^{n^2}}$;  
$^n\!\!\!\sqrt{3^n +2^{2n+3}}$; $^n\!\!\!\sqrt{\sqrt n -2\cdot ^3\!\!\!\sqrt{n-1}}$, 
 $(1+\frac 1{n^2})^n$, $(1-\frac 1{n^2})^n $, 

\noindent  $(\cos \frac 1n )^n ,~(\cos \frac 1{\sqrt n} )^n $,~
$(1+\frac 1{\sqrt{n}})^n, ~(1-\frac 1{\sqrt{n}})^n$, $(1+\frac 1{{n}})^{n^2},
 ~(1-\frac 1{{n}})^{n^3}$, $(1+\frac 1{{2n}-1})^{n}$


\smallskip

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ESERCIZIO n. 3 Si provino le seguenti implicazioni, e si mostri che le implicazioni
inverse non sono vere.
\smallskip

\noindent a - $b_n >0$, $^n\!\!\!\sqrt {b_n} \longrightarrow l >1,~ (<1)$ $\Rightarrow
~b_n\longrightarrow +\infty , ~ (0)$ esponenzialmente.



\noindent b - $b_n >0$, $\displaystyle{\frac {b_{n+1}}{b_n}\longrightarrow l >1,~ (<1)}$ $\Rightarrow
~b_n\longrightarrow +\infty , ~ (0)$ esponenzialmente.



\noindent c - $a_n >0$,  $ {a_n} \longrightarrow l\in [0 ;+\infty ]$ 
$\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_1 +\ldots +a_n}n},~^n\!\!\!\sqrt{a_1\ldots a_n}
 \longrightarrow l$.  



\noindent d - $a_n >0$, 
 $\displaystyle{\frac {a_{n+1}}{a_n}\longrightarrow l\in [0 ;+\infty ]}$
  $\Rightarrow $ $^n\!\!\!\sqrt {a_n} \longrightarrow l$.

\noindent  e - $a_n\longrightarrow \pm\infty$, 
$a_{n+1}-a_n\longrightarrow l\in \overline{\bf R}$ 
$\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_n}{n}}
\longrightarrow l$. 


\noindent  f {\bf *} - $a_n\longrightarrow {\pm\infty\atop {(0)}}, ~
{{b_{n+1}> b_{n}\longrightarrow +\infty}\atop{ 
(b_{n}> b_{n+1}\longrightarrow 0)}}, ~\displaystyle{\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}
-b_n}}\longrightarrow l\in \overline{\bf R}~\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_n}{b_n}}
\longrightarrow l$. 





\smallskip
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ESERCIZIO n. 4 Calcolare il limiti all'infinito delle seguenti successioni (in alcuni
casi converr\`a usare i crtieri del precedente esercizio):
\smallskip

\noindent $\displaystyle{\frac {2^n n!}{n^n}; ~\frac {3^n n!}{n^n};~\frac{(n!)^2}{n^n};~
\frac{(2n)!}{n^n};~\frac{(2n)!}{n^{2n}};~\frac{(2n)!}{{(2n)}^n};~
\frac{n2^n}{{{2n}\choose {n}}};~^n\!\!\!\sqrt{\frac{n!}{n^n}};~
^n\!\!\!\sqrt{\frac{(2n)!}{n^n n!}};~k^n \frac{(n!)^2}{(2n+1)!},~
k\in{\bf R}\setminus\{4\};~}$

\noindent $\displaystyle{\frac{^n\!\!\!\sqrt{n!}}{n^p},~p\in{\bf Q};~ 
\frac{n\log n}{\log n!};~\frac{1 +2^k\ldots +n^k}{n^{k+1}};~
\frac{1 +\frac 12\ldots +\frac 1n}{n}
}$
\smallskip

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ESERCIZIO n. 5 Si provi che $4^n\displaystyle{\frac {(n!)^2}{(2n+1)!}}$ \`e decrescente 
 e che il suo estremo inferiore \`e non  nullo.

\smallskip






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\break
\vfill

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ESERCIZIO n. 6

\smallskip

\noindent a -  Si provi per induzione 
$n!\geq \displaystyle{\left(\frac ne\right)^n}$.

\noindent b - Utilizzando lo sviluppo di 
Taylor per $\log (1+x)$ si provi che per ogni 
$\alpha <\displaystyle{\frac 12}$:

\noindent definitivamente 
$1 \geq (n+\alpha )\log\displaystyle{\left(1 +\frac 1n\right)}$ e 
quindi definitivamente  $n!\displaystyle{\left(\frac en\right)^n\frac1 {n^{\alpha}}}$
 \`e crescente.







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ESERCIZIO n. 7
\smallskip


%\begin{enumerate}


%\item 

\noindent Si calcoli il limite $l\in {\bf R}$ di $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}
a_{n+1}=\frac{a_n +\frac x{a_n}}{2}\qquad &\\
&\\
a_1> 0,~a_1^2>x>0&\\
\end{array}\right.}$. Si valuti l'infinitesimo $\vert a_n -l\vert$.
\smallskip

\noindent Si provi che $\exists \displaystyle{\lim_{n\to \infty }a_n =\lim_{n\to
\infty}{ b_n}}$ ove:  
 $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}
a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},~
b_{n+1}=\frac{a_n +{b_n}}{2}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$}\\
&\\
a_1<b_1&\\
\end{array}\right.}$

\smallskip

\noindent Si provi che la successione $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}
a_{n+1}=a_n +\frac 1{a_n}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$}\\
&\\
a_1=1,&\\ 
\end{array}\right.}$ diverge. Si calcoli $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac
{a_n}{n^k},~k\in{\bf N}}$ 








%\end{enumerate}


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ESERCIZIO n. 8 {\bf *} Studiare la convergenza della successione:
~~ $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}
a_{n+1}=\alpha^{a_n}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$}\\
&\\
a_1=\alpha >0&\\
\end{array}\right.}$~












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------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n. 9 

\smallskip

\noindent a - Dato $M>0$, studiare la convergenza 
$\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}
a_{n+1}={a_n}- M{a_n}^2\qquad &\hbox{se $n\geq 1$}\\
&\\
a_1=\alpha&\\
\end{array}\right.}$~

\smallskip

\noindent b {\bf *} - Studiare la convergenza di $n^\beta a_n$.





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ESERCIZIO n. 10  Si consideri la successione $\sqrt n -[\sqrt n]$, $n\in{\bf N}$.

\smallskip

\noindent a - Si provi che non converge.

\noindent b {\bf *} - Quali sono tutti i 
 valori limite di sottosuccessioni della successione
 data?















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ESERCIZIO n. 11  Una successione di numeri complessi $z_n\in {\bf C}$, $n\in {\bf N}$
converge ad un numero complesso $z\in {\bf C}$ se e solo se:
~~ $\forall ~\varepsilon ~\exists \nu ~\forall n\geq \nu~ \vert z_n -z\vert
\le\varepsilon$
,  cio\`e se e solo se $\vert z_n - z\vert\rightarrow 0$. Provare:


\smallskip

\noindent a -  $z_n\rightarrow z$ $\Leftrightarrow$ 
${\cal R}\! e z_n\rightarrow {\cal R}\! e z$ e
 ${\cal I}\! m z_n\rightarrow {\cal I}\! m z$ $\Leftrightarrow$ 
 $\vert z_n\vert \rightarrow \vert z\vert$ e ${\rm arg} z_n +2k_n \pi\rightarrow 
{\rm arg} z$.

\smallskip


\noindent b - se $z=x+iy\in {\bf C}$, 
$\displaystyle{\left( 1+\frac zn\right)^n\rightarrow e^x(\cos y + i \sin y)}$. (Si
assuma che $\displaystyle{\left( 1+\frac an\right)^n\rightarrow e^a ,~a\in{\bf R}}$).
















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\end{document}
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ESERCIZIO n. 12  




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ESERCIZIO n. 13







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ESERCIZIO n. 14
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serie complesse elementari 

esponenziale complessa come limite




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ESERCIZIO n. 15
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ESERCIZIO n. 16
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ESERCIZIO n. 17
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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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ESERCIZIO n. 21
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\end{document}






