Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli IV foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 3 aprile 2003 al 10 aprile 2003

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ESERCIZIO n. 1 a - Si mostri che vi sono funzioni, da R in R, che trasformano ogni intervallo in un intervallo ma non sono continue. b^{∗} - Si mostri che vi sono funzioni, da R in R, che trasformano ogni intervallo in un intervallo e non sono continue in alcun punto. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 2 a - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha solo discontinuità di tipo salto. b - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha al più un insiem numerabile di punti in cui non è continua. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 Si provi che f : R → R limitata è continua se e solo se x_{n} → x ∈ R e f(x_{n}) → y ∈ R allora y = f(x). Si mostri che ciò non è vero se f non è limitata. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4^{∗} Si provi che f da R in se è continua e non decrescente se e solo se per ogni successione limitata x_{n} si ha maxlim_{n→∞}f(x_{n}) = f(maxlim_{n→∞}x_{n}) [maxlim_{n→∞}y_{n} = inf_{n} sup_{k≥n} y_{k} = lim_{n→∞} sup_{k≥n} y_{k}]. ————————————————————————————————————————–

DEFINIZIONE f si dice uniformemente continua su I se e solo se

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ I (|x − y| ≤ δ ⇒ |f(x) − f(y)| ≤ ε)

ovvero  lim_{δ→0} sup_{{x,y∈I \atop |x−y|≤δ}} |f(x) − f(y)| = 0.

TEOREMA: Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è ivi uniformemente continua.

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ESERCIZIO n. 5 a - Si provi che x ↦ \sqrt{x} è \frac{1}{2}-hölderiana su [0; +∞[ ma non lipschitziana. b - Si provi che x ↦ x^{2} e x ↦ sin(x^{2}) non sono uniformemente continue su R e sono lipscitziane sugli intervalli limitati. c - Si provi che x ↦ \frac{1}{(log |x|)^{2}} , x ≠ 0, è uniformemente continua ma non è hölderiana. d - Si provi che le funzioni hölderiane e lipschitziane sono uniformemente continue.

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ESERCIZIO n. 6 a - f : I → R è continua se e solo se per ogni successione x_{n} → x ∈ I di elementi di I si ha f(x_{n}) → f(x). b - f : I → R se e solo se date due successioni di elementi di I per cui x_{n} − y_{n} → 0 si ha anche f(x_{n}) − f(y_{n}) → 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 7 Una funzione continua da R in se con limiti all’infinito è uniformemente continua. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 8 Al variare di a, b ∈ R si studi l’hölerianità di x^{a} sin(x^{b}) su [1; +∞[. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 9 Una funzione f uniformemente continua da R in se è a crescita lineare (f(x) ≤ A + B|x|).

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