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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} 

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}


\centerline{IV foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 3 aprile 2003 al  10 aprile 2003}
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\noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$
El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1 

\noindent a - Si mostri che vi sono funzioni, da ${\bf R}$ in ${\bf R}$, che
trasformano ogni intervallo in un intervallo ma non sono continue.

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\noindent b $^{\bf *}$ - Si mostri che vi sono funzioni, da ${\bf R}$ in ${\bf R}$, che
trasformano ogni intervallo in un intervallo e non sono continue in alcun punto.
%$x-y\in {\bf Q}$ \`e una relazione di equivalenza
%la partizione indotta ha la stessa cardinalit\`a di $\bf R}$ ...
%
%la bigezione tra ${\bf R}$ e tale partizione sia $x\mapsto P_x$.
%$P_x$ denso in ${\bf R}$, $P_x\cap P_y =\emptyset $ se $x\not=y \in {\bf R}$,
%$\bigcup_{x\in{\bf R}} P_x={\bf R}:
% per ogni intervallo $I$ e per ogni $x\in {\bf R}$ si ha $P_x\cap
%I\not=\emptyset$. Si definisce $f(z)=x$ se $z\in P_x$.
% per ogni intervallo $I$ la sua immagine \`e tutto ${\bf R}$ e in particolare in ogni
%intervallo vi sono elemnti di $P_0$ e di $P_1$.












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ESERCIZIO n. 2 

\noindent a - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo 
 ha solo discontinuit\`a di tipo salto.
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\noindent b - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo 
ha al pi\`u un insiem numerabile di punti in cui non \`e continua.







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ESERCIZIO n. 3 Si provi che $f:{\bf R}\to {\bf R}$ limitata 
 \`e continua se e solo se $x_n\to x\in {\bf R}$ e  
$f(x_n)\to y\in {\bf R}$ allora $y=f(x)$. 
Si mostri che ci\`o non \`e vero se $f$ non \`e limitata.



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ESERCIZIO n. 4$^{\bf *}$  Si provi che $f$ da ${\bf R}$ in se 
\`e continua e non decrescente se e solo se per ogni successione limitata $x_n$ si ha ${\rm
maxlim}_{n\to \infty}  f(x_n ) = f({\rm maxlim }_{n\to \infty} x_n )$ ~[${\rm
maxlim}_{n\to \infty } y_n =\inf_n\sup_{k\geq n} y_k= \lim_{n\to \infty}
\sup_{k\geq n} y_k$].



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\noindent DEFINIZIONE $f$ si dice {\it uniformemente continua} su $I$ se e solo se
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\centerline{$\forall\varepsilon >0~\exists\delta >0 ~\forall x,~y\in I ~(\vert x-y\vert\le \delta
\Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert \le \varepsilon)$}
\smallskip

\noindent ovvero \centerline{ $\displaystyle{\lim_{\delta\to 0} \sup_{{x,y\in I}\atop{\vert
x-y\vert\le \delta}} \vert f(x) -f(y)\vert =0}$.}
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\noindent TEOREMA: 

\noindent Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \`e ivi 
uniformemente continua.

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ESERCIZIO n. 5 

\noindent a - Si provi che $x\mapsto \sqrt{x}$ \`e $\frac 12$-h\"olderiana su
$[0;+\infty[$ ma non lipschitziana.

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\noindent b - Si provi che $x\mapsto x^2$ e 
$x\mapsto sin (x^2)$ non sono uniformemente continue su ${\bf R}$ e sono lipscitziane
sugli intervalli limitati.

\smallskip

\noindent c - Si provi che $x\mapsto \frac 1{(\log \vert x\vert )^2}$, $x\not= 0$, \`e
uniformemente continua ma non \`e h\"olderiana.

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\noindent d - Si provi che le funzioni h\"olderiane e lipschitziane 
sono uniformemente continue.

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\vfill
\eject

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ESERCIZIO n. 6  

\noindent a -  $f:I\to {\bf R}$ \`e continua se e solo se per 
ogni successione  $x_n\to x\in I$ di elementi di $I$ si ha
$f(x_n)\to f(x)$.
\smallskip

\noindent b - $f:I\to {\bf R}$ se e solo se date due successioni di elementi di $I$
per cui $x_n -y_n\to 0$ si ha anche $f(x_n)-f(y_n )\to 0$.


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ESERCIZIO n. 7 Una funzione continua da ${\bf R}$ in se con limiti all'infinito \`e
uniformemente continua.



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ESERCIZIO n. 8 Al variare di $a, ~b\in {\bf R}$ si studi l'h\"olerianit\`a di $x^a
\sin (x^b )$ su $[1; +\infty [$.

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ESERCIZIO n. 9 Una funzione $f$ uniformemente continua da 
${\bf R}$ in se \`e a crescita lineare ($f(x)\le A +B\vert x\vert$).


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\noindent ESERCIZIO n. 9 

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ESERCIZIO n. 10  

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ESERCIZIO n. 11  
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\end{document}
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ESERCIZIO n. 12  




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ESERCIZIO n. 13







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ESERCIZIO n. 14
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serie complesse elementari 

esponenziale complessa come limite




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ESERCIZIO n. 15
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ESERCIZIO n. 16
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ESERCIZIO n. 17
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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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ESERCIZIO n. 21
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\end{document}






