Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli V foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 29 aprile 2003, 30 aprile 2003

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ESERCIZIO n. 1 Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente contenuto in {(x, y) : x^{2} ≤ y ≤ 1 } di area massima. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 2

a - Si provi D^{n}(f · g) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}D^{k}fD^{n−k}g.

b^{∗} - Si determini una relazione di ricorrenza per i termini della successione numerica data dalle derivate successive calcolate in 0 della funzione x ↦ arsin x. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 Sia f una funzione reale definita e continua in [x_{0}; x_{0} + a[, x_{0} ∈ R, a > 0. Se f è derivabile in ]x_{0}; x_{0} + a[ e ∃ lim_{x→x_{0}} f′(x) = λ allora ∃f′(x_{0}) = λ.

Si mostri con un esempio che non è vero il viceversa. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 Sia f derivabile in un intorno di x_{0} ∈ R.

a - Se ∃f′′(x_{0}) allora ∃ lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) + f(x_{0} − h) − 2f(x_{0})}{h^{2}} = f′′(x_{0}).

b - Si mostri che se vi è tale limite non è detto che vi sia la derivata seconda nel punto x_{0}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5^{∗} Si provi che le funzioni che sono derivate su tutto un intervallo hanno la proprietà del valore intermedio, ossia: se g(x) = f′(x), a < x < b allora per ogni η ∈] inf g, sup g[ esiste ξ ∈]a, b[ per cui η = g(ξ). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 6 Sia f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}. a - Si provi che f è continua su R.

b - Si provi che le derivate di f in R \ {0} sono del tipo funzione razionale moltiplicato f. c - Si provi che f è derivabile infinite volte in x = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 7 a^{∗} - Sia f : [a; b] → R continua, non costante, nulla agli estremi e derivabile in ]a; b[. Allora

∃ξ ∈]a; b[: |f′(ξ)| > \frac{4}{(b − a)^{2}} ∫_{a}^{b} |f(x)| dx

b - Se g ∈ C^{1}([a; b]), g′(0) = g′(1) = g(0) = 0, g(1) = 1, e ∀x ∈]0; 1[∃g′′(x), allora ∃ξ ∈]0; 1[ |g′′(ξ)| > 4.