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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} 

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}


\centerline{V foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 29 aprile 2003, 30  aprile 2003}
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\noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$
El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1 Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente
contenuto  in $\{ (x, y):~ x^2 \le y \le 1 ~\}$ di area massima.

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ESERCIZIO n. 2 

\noindent a - Si provi $\displaystyle{ D^n (f\cdot g)=\sum_{k=0}^n  {n\choose k} D^k f
D^{n-k}g}.$

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\noindent b$^*$ - Si determini una relazione di ricorrenza per i termini 
 della successione numerica data dalle derivate successive calcolate in $0$ 
della funzione $x\mapsto {\rm arsin} ~x$.
%$D((1- x^2) Du )=D(\sqrt{ 1-x^2}) =-x Du, Newton = -D^n(xDu)=
%D^{n+1}((1-x^2) Du) =Newton:~ Du=1, D^2u=0, D^{n+2}u = n^2 D^nu,~ 
%D^{2m-1}u=\frac{(2m-1)!}{2^{m-1} (m-1)!}$
%


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ESERCIZIO n. 3  Sia $f$ una funzione reale 
definita e continua in $[x_0 ; x_0 +a[$, $x_0\in {\bf R}$,
$a>0$. Se $f$ \`e derivabile in $]x_0 ; x_0 +a[$ e $\exists\lim_{x\to x_0} f^\prime
(x)=\lambda$ allora $\exists f^\prime (x_0 )=\lambda$.

 Si mostri con un esempio che non \`e vero il viceversa.








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ESERCIZIO n. 4 Sia $f$ derivabile in un intorno di $x_0\in {\bf R}$.

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\noindent a -  Se 
%$\exists f^\prime (x)$, $\vert x-x_0\vert\le a$, e  
$\exists f^{\prime\prime} (x_0)$ allora
$\displaystyle{\exists\lim_{h\to 0}\frac {f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)} 
{h^2} ~=~f^{\prime\prime} (x_0)}$.

\smallskip

\noindent b - Si mostri che se vi \`e tale limite non \`e detto che vi 
sia la derivata seconda nel punto $x_0$.


%Sia $f(x)$ derivabile una volta, $m(x)$ continua, per 
%$x\in{\bf R}$. Sia poi $\varepsilon (x,y)$ una funzione continua nel complesso delle due
%variabili, cio\`e:

%$\displaystyle{\lim_{|x-a|+|y-b|\to 0} \varepsilon (x,y)=\varepsilon (a,b)}$,

%per cui si abbia per ogni fissato $x$: $\varepsilon (x,0)=0$. Si provi che 

%$\displaystyle{ \exists f^{\prime\prime} =m}$.




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ESERCIZIO n. 5$^*$  Si provi che le funzioni che sono derivate su tutto un intervallo hanno
la propriet\`a del {\it valore intermedio}, ossia:
 se $g(x)= f^\prime (x)$, $a<x<b$ allora
per ogni $\eta \in ]\inf g , \sup g[$ esiste $\xi \in ]a, b[$ per cui $\eta =g(\xi )$.





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\noindent ESERCIZIO n. 6 Sia $\displaystyle{
f(x) =\cases{e^{-\frac 1{x^2}} & ~$x\not=0$\cr
~& \cr
0 &~$x=0$\cr}}$. ~~~ a - Si provi che $f$ \`e continua su ${\bf R}$.

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\noindent b - Si provi che le derivate di $f$ in ${\bf R}\setminus\{ 0\}$ sono del
tipo funzione razionale moltiplicato $f$.


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\noindent c - Si provi che $f$ \`e derivabile infinite volte in $x=0$.

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ESERCIZIO n. 7


\noindent a$^*$ - Sia $f:[a;b]\to {\bf R}$ continua, non costante, nulla agli estremi
e derivabile in $]a;b[$. Allora

$$\exists \xi\in]a;b[ : \vert f^\prime (\xi )\vert > \frac 4{(b-a)^2}\int_a^b \vert
f(x)\vert \, dx  $$

\noindent b - Se $g\in C^1 ([a;b])$, $g^\prime (0)=g^\prime (1) =g(0)=0 ,~
g(1)=1$, e $\forall x\in ]0;1[\exists g^{\prime\prime} (x),$ allora

\noindent $\exists \xi\in ]0;1[ 
~\vert g^{\prime\prime} (\xi )\vert >4$.

\smallskip


%$\vert f^\prime (x)\le \frac 4 {(b-a)^2}\int_a^b \vert f(t)\vert dt =: k
%\hbox{\rm il ~grafico ~\`e ~contenuto ~in ~un~ parallelogramma ~vertici ~in ~a~e ~b
%~ e~lati ~con~pendenza ~k~ rispetto~l'asse~ orizzontale}
%~Lagrange ~\vert f(x)\vert \le kx ,~x\in[0;\frac 12 ], ~~
%\vert f(x)\vert \le k(1-x) ,~x\in[\frac 12 ;1 ]
%\hbox{\rm integrando~si ~ha ~l'assurdo}

\end{document}
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ESERCIZIO n. 8 



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ESERCIZIO n. 9 


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\noindent ESERCIZIO n. 9 

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ESERCIZIO n. 10  

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ESERCIZIO n. 11  
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\end{document}
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ESERCIZIO n. 12  




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ESERCIZIO n. 13







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ESERCIZIO n. 14
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serie complesse elementari 

esponenziale complessa come limite




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ESERCIZIO n. 15
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ESERCIZIO n. 16
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ESERCIZIO n. 17
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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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ESERCIZIO n. 21
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