Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli VI foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 30 aprile 2003 al 8 maggio 2003

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ESERCIZIO n. 1 a - Si studi la convergenza delle seguenti serie:

∑_{n} e^{\frac{1}{n}} , ∑_{n}(\frac{1}{n}−\frac{1}{n^{2}} ), ∑_{n} sin \frac{1}{n}, ∑_{n}(\frac{1}{n}−sin \frac{1}{n}), ∑_{n}(1−cos \frac{1}{n}), ∑_{n} \frac{αn^{β}−n}{n^{\frac{4}{3}} +\sqrt{n}} (α, β ∈ R), ∑_{n} \frac{e^{n}−n^{6}}{e^{2n}+n},

∑_{n} sin^{2} n, ∑_{n}(^{n}\sqrt{n}−1), ∑_{n} ((1 + \frac{1}{n})^{n} − e) , ∑_{n} ((1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n} − 1) , ∑_{n} (\frac{n}{n+1})^{n^{2}} , ∑_{n} \frac{n!+n^{2}}{3^{n}+n^{n}} ,

∑_{n} \frac{1}{3^{\sqrt{n}}} , ∑_{n} \frac{n!}{n^{n}} , ∑_{n} \frac{n^{n}}{3^{n}n!}, ∑_{n} \frac{x^{n}}{n!} (x ∈ R), ∑_{n} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}, ∑_{n} n^{n}x^{n!} (x ∈ R), ∑_{n} a_{n} : \{ \begin{matrix}a_{n+1} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n−1}} \\ a_{1} = 2, a_{2} = 1 \end{matrix}

∑_{n≥2} \frac{1}{n^{α}(log n)^{β}} (α, β ∈ R),

∑_{n} ∑_{k=n}^{n^{2}} e^{−k}, ∑_{n} ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{n^{k}} , ∑_{n} ∫0^{\frac{π}{2}} (sin x)^{n} dx, ∑_{n} ∫_{0}^{3} \frac{sin(t^{n^{2}})}{t^{n^{2}}} dt, ∑_{n} \frac{1}{(log n)^{log n}}

b - Stabilre se i seguenti integrali generalizzati sono convergenti:

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α−1}}{1+x} dx , ∫_{0}^{∞} \frac{(2+cos x) log x}{x^{α}}dx (α ∈ R), ∫_{1}^{∞} \frac{e^{x} arctan x}{((2x)^{x}−1)^{2}} dx, ∫_{0}^{∞} (1 − \sqrt{\frac{t}{t+1}}) dt,

∫_{1}^{∞} \frac{e^{−x^{2}}x^{x}−e^{x−2}}{1−x^{x}} dx, ∫_{1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{x^{3}−x^{2}}} dx, ∫ \sqrt{\frac{π}{2}}_{0} \frac{1}{log(cos x^{2})^{\frac{1}{3}}} dx, ∫_{1}^{∞} ((x^{8} − 1)^{− \frac{1}{9}} − x^{− \frac{8}{9}} ) dx.

∫0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}} dx, ∫ 1_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}} dx, ∫1^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}} dx, ∫ +∞_{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}} dx (α, β ∈ R),

∫_{0}^{1} \frac{\sqrt{1−cos x}}{x log(1+\sqrt{x})} dx, ∫_{0}^{1} \frac{1−(cos x)^{\frac{1}{4}} + log(1+x^{\frac{1}{2}} )}{(sin x+1−e^{\frac{x}{2}} )^{\frac{1}{2}}} dx, ∫0^{\frac{1}{2}} \frac{arctan x}{((2x)^{x}−1)^{2}} dx, ∫_{1}^{+∞} (\frac{1}{sin \frac{1}{x}} − \frac{1}{log(x+1)−log x}) dx

∫_{0}^{1} \frac{1}{\frac{π}{2} −arsinx} dx, ∫_{0}^{π} \frac{1}{1−| cos(x^{α})|} (α ∈ R), ∫_{−1}^{1} |x|^{^{\frac{1}{2}}(α \frac{x}{|x|} −1)}dx (α ∈ R), ∫_{0}^{+∞} ((\frac{2}{1+e^{−x}} )^{\frac{1}{x}} − 1) dx

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ESERCIZIO n. 2 a - Si provi che le serie di Taylor di centro 0 di x ↦ log(1 + x) è convergente alla funzione stessa per |x| < 1. b - Si provi che le serie di Taylor di centro 0 delle funzioni x ↦ e^{x}, sin x, cos x sono assolutamente convergenti per ogni x ∈ R, e quindi che rispettivamente convergono alle funzioni di cui sono sviluppo. c - Si provi che il resto dello sviluppo di Taylor in 0 di grado 2n+2 della funzione x ↦ artanx è in modulo minore di \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3} . (Per esempio si può usare la serie gometrica di ragione −x^{2}). d - Si trovi una funzione la cui serie di Taylor in 0 converge per ogni x ∈ R, ma non converge alla funzione stessa.

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ESERCIZIO n. 3^{∗} Si pone \binom{α}{n} = \frac{α … (α − n + 1)}{n!}, α ∈ C, n ∈ N. Si calcoli lo sviluppo di

Taylor in 0 della funzione x ↦ (1 + x)^{α}, α ∈ R e si provi che converge alla funzione stessa per |x| < 1.

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ESERCIZIO n. 4 Si ocnsideri x ↦ ∫_{0}^{tan x} \frac{sin t}{1+t^{2}} dt , t ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z).

a - Si provi che tale funzine può essere estesa con continuità a tutto R. b^{∗}- Si studi la derivabiltà di tale estensione.

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ESERCIZIO n. 5 Posto F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt, si studi il limite del rapporto \frac{F (x)}{f(x)}, x → +∞, nei seguenti casi:

f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} , f(x) = e^{x} , f(x) = xe^{x^{2}} , f(x) = log x .

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ESERCIZIO n. 4 Sia a_{n} = ∫0^{\frac{π}{2}} sin^{n} t dt, n ≥ 0.

a - Si provi che 1 ≥ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≥ \frac{n}{n+1} e quindi a_{2m} = \frac{π}{2} \frac{(2m−1)(2m−3)...5·3}{2m(2m−2)...4·2}, a_{2m+1} = \frac{2m(2m−2)...4·2}{(2m+1)(2m−1)...5·3}.

b - Si deduca che lim_{m→∞} \frac{2m(2m−2)...4·2}{(2m−1)(2m−3)...5·3} \frac{1}{\sqrt{2m+1}} = \sqrt{\frac{π}{2}} [Formula di Wallis].

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ESERCIZIO n. 5 a - Si provi che (\frac{n}{e})^{n} e ≤ n! ≤ \sqrt{n} (\frac{n}{e})^{n} e, valutando ∫_{1}^{n} log x dx ≤ log n! ≤ ∫_{1}^{n} log x dx + somma di aree di triangoli. b - Si provi che n! = (\frac{n}{e})^{n} \sqrt{n}e^{1−D_{n}}, si dia un interpretazione geometrica alla successione D_{n} mostrando tra l’altro che è crescente. c - Detto D il limite di D_{n} si provi che D − D_{n} ≤ log \sqrt{1 + \frac{1}{2n}}. d - Usando la formula di Wallis si provi che e^{1−D} = \sqrt{2π} e quindi la formula di Stirling \sqrt{2πn} (\frac{n}{e})^{n} < n! < \sqrt{2πn} (\frac{n}{e})^{n} \sqrt{1 + \frac{1}{2n}}.

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ESERCIZIO n. 6 a - Si consideri Γ(α) = ∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{α−1}dx, α > 0. Si provi che è ben definito e quindi che Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ N.

b - Sia Λ(β) = ∫_{1}^{2} e^{−x}x^{β}dx, β ∈ R. Si provi che è derivabile con derivata eguale a ∫_{1}^{2} e^{−x}x^{β} log xdx.

c - Si studi il caso Λ(β) = ∫_{1}^{+∞} e^{−x}x^{β}dx.

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ESERCIZIO n. 7 Si considerino gli integrali

\frac{1}{3}T (κ) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − t^{2}} · \sqrt{1 − κ^{2}t^{2}}} dt , κ ∈ [0; 1[.

a) Si calcoli T (0) e si provi che per ogni κ ∈ [0; 1[ tali integrali sono finiti.

b) Si studi al variare di α ∈ R il comportamento di (T (κ) − T (0)) · κ^{−α} per κ → 0.

ESERCIZIO n. 8 questioni numeriche funzioni continue mai derivabili insiemi di cantor funzioni definite con integrali o serie serie di errori di successioni definite per ricorrenza

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ESERCIZIO n. 9