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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} 

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}


\centerline{VI foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 30 aprile 2003 al 8 maggio 2003}
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\noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$
El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1 

\noindent a - Si studi la convergenza delle seguenti serie:
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\noindent $\sum_n e^{\frac 1n},~\sum_n (\frac 1n -\frac 1{n^2}),~
\sum_n \sin \frac 1n ,~ 
\sum_n (\frac 1n -\sin \frac 1n),~\sum_n (1-\cos \frac 1n) ,~
 \sum_n \frac { \alpha n^\beta
-n}{ n^{\frac 43} +\sqrt{n}}~(\alpha ,~\beta \in {\bf R} ),~ 
\sum_n \frac {e^n -n^6}{e^{2n} +n},$

\noindent$\sum_n \sin^2 n ,~\sum_n (^n\!\!\sqrt{n} -1), ~\sum_n \left( \left( 1+\frac
1n\right)^{n} -e\right), ~\sum_n \left( \left( 1+\frac
1{n^2}\right)^{n} -1\right), ~\sum_n \left( \frac n {n+1}\right)^{n^2},~\sum_n \frac
{n! +n^2}{3^n + n^n}, $

\noindent$ \sum_n \frac 1{3^{\sqrt{n}}},\sum_n \frac {n!}{n^n}, \sum_n\frac{n^n} {3^n
n!},\sum_n \frac {x^n}{n!}~ (x\in {\bf R}),
\sum_{n}\frac {(n!)^2 }{(2n)!},\sum_{n} n^n x^{n!}~ (x\in {\bf R}),
\sum_{n} a_n :\left\{\begin{array}{ll}
a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_{n-1}}\qquad &\\
a_1=2,~
a_2=1&\\
\end{array}\right.$

\noindent $\sum_{n\geq 2}\frac 1{ n^\alpha (\log n)^\beta}~(\alpha, \beta\in {\bf
R}),$

\noindent $\sum_n \sum_{k=n}^{n^2} e^{-k},~ \sum_n \sum_{k=2}^n \frac 1{n^k},~ \sum_n
\int_0^{\frac {\pi}2 }(\sin x)^n \, dx, ~\sum_n \int_0^3 \frac{\sin (t^{n^2})}{t^{n^2}}
 \, dt,~ 
\sum_n \frac 1{(\log n)^{\log n}}$

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\noindent b - Stabilre se i seguenti integrali generalizzati sono convergenti:
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\noindent $
\int_0^\infty\frac {x^{\alpha -1}}{1+x}dx ~,~
\int_0^\infty\frac {(2+\cos x)\log x}{x^\alpha}dx~~
~(\alpha\in {\bf R}),~\int_1^\infty \frac{e^x\arctan x}{ ((2x)^x -1)^2}\, dx
,~
\int_0^\infty \left(1-\sqrt{\frac t{t+1}}\right) dt,~
~$

\noindent $\int_1^\infty \frac {e^{-x^2}x^x -e^{x-2}}
{1 -x^x}dx,~
\int_1^\infty \frac 1 {\sqrt{x^3 -x^2}} dx ,~
\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac 1{\log (\cos x^2)^{\frac 13}} dx ,~
\int_1^\infty \left((x^8 -1)^{-\frac 19} - x^{-\frac 89} \right)dx.$


\noindent $\int_0^{\frac 12}\frac 1{ x^\alpha |\log |x||^\beta} dx,~
\int_{\frac12}^{1}\frac 1{ x^\alpha |\log |x||^\beta} dx,~
\int_{1}^{\frac 32}\frac 1{ x^\alpha |\log |x||^\beta} dx,~
\int_{\frac 32}^{+\infty}\frac 1{ x^\alpha |\log |x||^\beta} dx~(\alpha ,
\beta\in{\bf R}), $


\noindent$\int_0^1\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x\log (1+\sqrt x)}\, dx,~
\int_0^1\frac {1-(\cos x )^{\frac 14}  ~+~\log (1+ x^{\frac 12})}{ (\sin x +1-
e^{\frac x2})^{\frac 12}}\, dx, ~\int_0^{\frac 12}\frac{\arctan x}{ ((2x)^x -1)^2}\,
dx,~\int_1^{+\infty}\left(\frac 1{\sin
\frac 1x} - \frac 1{\log (x+1) - \log x}\right)\, dx
 $

\noindent $\int_0^1\frac 1{\frac{\pi}2 -{\rm arsin} x}\, dx ,~
\int_0^{\pi}\frac 1{1- |\cos (x^\alpha)|}~ (\alpha\in {\bf R} ),~
\int_{-1}^1 |x|^{\frac{1}{2}
\left(\alpha\frac{x}{|x|}-1\right)}dx ~(\alpha\in {\bf
R}),~ \int_0^{+\infty}\left(\left(\frac 2
{1+e^{-x}}\right)^{\frac 1x} -1\right)\, dx$





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ESERCIZIO n. 2 

\noindent a - Si provi che le serie di Taylor di centro $0$ di $x\mapsto \log (1+x)$
\`e convergente alla funzione stessa per $\vert x\vert <1$.

\noindent b - Si provi che le serie di Taylor di centro $0$ delle funzioni $x\mapsto
 e^x, ~\sin x , ~\cos x$ sono assolutamente convergenti per ogni $x\in {\bf R}$, e
quindi che rispettivamente convergono alle funzioni di cui sono sviluppo.

\noindent c - Si provi che il resto dello sviluppo di Taylor in $0$ di grado $2n+2$
della funzione $x\mapsto{\rm artan} x$ \`e in modulo minore di $\frac {\vert
x\vert^{2n+3}}{2n+3}$. (Per esempio si pu\`o usare la serie gometrica di ragione 
$-x^2$).

% se $f(x)= (-1)^{n+1} R_{2n+3}$  si ha  $\vert f^\prime\vert=
% \frac {x^{2n+2}{1+x^2}\le x^{2n+2} =g^\prime$, $g(x)=\frac {x^{2n+3}}{2n+3}$ quindi
%$f\le g$

\noindent d - Si trovi una funzione la cui serie di Taylor in $0$ converge per ogni
$x\in {\bf R}$, ma non converge alla funzione stessa.






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ESERCIZIO n. 3$^*$ Si pone $\displaystyle{ {\alpha \choose n}= 
\frac {\alpha \dots (\alpha
-n +1)}{n!},~ \alpha \in {\bf C},~ n\in {\bf N}}$. Si calcoli lo sviluppo di Taylor
in $0$ della funzione $x\mapsto (1+x)^\alpha,~ \alpha\in {\bf R}$ e si provi che
converge alla funzione stessa per $\vert x\vert <1$. 


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ESERCIZIO n. 4 Si ocnsideri $x\mapsto \int_0^{\tan x} \frac{\sin t}{1+t^2} dt~, ~
t\not = \frac {\pi}2 +k\pi ~(k\in{\bf Z})$.
\medskip

\noindent a - Si provi che tale funzine pu\`o essere estesa con continuit\`a a tutto
${\bf R}$.


\noindent b$^*$- Si studi la derivabilt\`a di tale estensione.



%Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delle
%seguenti funzioni $x\mapsto f(x)$:
%$\int_{2x-3}^{x+5} \frac {te^{t-1}}{2t -7}dt~;~~\int_0^{x^2}\frac {\sin
%t}{\sqrt{1-t^2}} dt~;~~ \int_0^{\tan x} \frac {\cos t}{1+t^2} dt~.$







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ESERCIZIO n. 5

Posto $\displaystyle{ F(x)=\int_0^x f(t)\, dt}$, si studi il limite del rapporto
$\frac {F(x)}{f(x)}$, $x\to+\infty$, nei seguenti casi:
$f(x)=\frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x}~,~~f(x)=e^x~,~~ f(x)= xe^{x^2}~,~~f(x)=\log x~.$




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ESERCIZIO n. 4 Sia $\displaystyle{
a_n=\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^n t\,dt, ~n\geq 0}$. 

\noindent a - Si provi che
 $1\geq \frac {a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{n}{n+1}$ e quindi 
 $a_{2m} = \frac{\pi}2 \frac {(2m-1)(2m-3 )\dots 5\cdot 3}{2m(2m-2)\dots 4\cdot 2}$, 
 $a_{2m+1}= \frac {2m(2m-2 )\dots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\dots 5\cdot 3}$.


\noindent b -  Si deduca che $\lim_{m\to \infty }\frac {2m(2m-2 )\dots 4\cdot 2}
{(2m-1)(2m-3 )\dots 5\cdot 3} \frac 1{\sqrt{2m+1}} =\sqrt{\frac{\pi}2}$ [Formula di
Wallis].


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ESERCIZIO n. 5

\noindent a - Si provi che $\left(\frac ne\right)^n e \le n! \le
\sqrt{n}\left(\frac ne\right)^n e$, valutando $\int_1^n \log x \, dx \le \log n! \le 
\int_1^n \log x \, dx + \hbox{\rm somma di aree di triangoli}$.

\noindent b - Si provi che $n! = \left(\frac ne\right)^n \sqrt{n} e^{1-D_n}$, si dia
un interpretazione geometrica alla successione $D_n$ mostrando tra l'altro che \`e
crescente.

\noindent c - Detto $D$ il limite di $D_n$ si provi che $D-D_n\le \log
\sqrt{1+\frac1{2n}}$.


\noindent d - Usando la formula di Wallis si provi che $e^{1-D} = \sqrt{2\pi}$ e
quindi la formula di Stirling 

\noindent $\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n < n!<
\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n \sqrt{1+\frac 1{2n}}$.






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ESERCIZIO n. 6 

\noindent a -  Si consideri 
 $\displaystyle{\Gamma (\alpha )= \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha -1}
dx}$, $\alpha >0$. Si provi che \`e ben definito e quindi che $\Gamma (n)=(n-1)!$ per
$n\in{\bf N}$.


\noindent b - Sia $\displaystyle{\Lambda (\beta )= \int_1^2 e^{-x} x^{\beta}
dx}$, $\beta\in {\bf R}$. Si provi che \`e
derivabile con derivata eguale a 
$\displaystyle{ \int_1^2 e^{-x} x^{\beta}\log x dx}$.


\noindent c - Si studi il caso 
 $\displaystyle{\Lambda (\beta )= \int_1^{+\infty} e^{-x} x^{\beta}
dx}$.
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ESERCIZIO n. 7  Si considerino gli integrali
$$
 {\displaystyle
\frac 13  {\large T(\kappa )~=~
\int_0^{1} \: \frac{1}{\sqrt{1-t^2}\cdot\sqrt{1-\kappa^2 t^2}} }\: dt
   \quad ,\quad \quad \kappa \in [0;1[. }
$$

a) Si calcoli $T(0)$ e si  provi che per ogni 
$\kappa\in [0;1[$ tali integrali sono finiti.
\smallskip

b) Si studi al variare di $\alpha\in{\bf R}$ il comportamento di $\left(T(\kappa )
-T(0)\right)\cdot \kappa^{-\alpha}$ per $\kappa\to 0$.
%\smallskip

%c) Si calcoli $T(\frac 14 )$ con un errore inferiore ad un centesimo.













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ESERCIZIO n. 8 






questioni numeriche

funzioni continue mai derivabili

insiemi di cantor

funzioni definite con integrali o serie

serie di errori di successioni definite per ricorrenza







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ESERCIZIO n. 9 
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\end{document}
