Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli VII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 30 aprile 2003 al 21 maggio 2003

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LEMMA a_{1}, b_{1}, …, b_{n} ∈ C ∑_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} ∑_{k=m}^{n} b_{k} − ∑_{k=m}^{n−1}(a_{k+1} − a_{k}) ∑_{j=m}^{k} b_{j}

TEOREMA

a - a_{n} → 0, ∑_{k=0}^{+∞} |a_{k} − a_{k+1}| < +∞, sup_{n∈N} |∑_{k=0}^{n} b_{k}| ≤ M < +∞ ⟹ ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{k} converge

b - ∑_{k=0}^{+∞} |a_{k} − a_{k+1}| < +∞, ∑_{k=0}^{n} b_{k} converge ⟹ ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{k} converge

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ESERCIZIO n. 1 Si mostri che la serie ∑_{n} \frac{cos nx}{\sqrt{n}}, x ∉ 2πZ è convergente.

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ESERCIZIO n. 2 Si consideri la successione a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}. Si provi che pur essendo infinitesima e a segni alterni la sua serie non è convergente. Si mostri quindi che per le serie a termini di segno variabile non vale il criterio del confronto asintotico.

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ESERCIZIO n. 3 a - Si provi mediante integrazione per parti e confronto che \frac{sin x}{x} ha integrale in senso generalizzato su ]0; +∞[ finito. Si provi che il suo valore assoluto non ha integrale finito. b - Si provi che se x ↦ g(x) è una funzione definita su [0; +∞[, decrescente ed infinitesima per x → +∞, e quindi non negativa, allora la funzione g(x) sin x ha integrale in senso generalizzato su [0; +∞] finito. Che dire sull’integrale di |g(x) sin x| su [0; +∞[?

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ESERCIZIO n. 4 Si studi l’integrabilità in senso generalizzato, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su ]0; +∞[ delle funzioni sin(x^{2}), (sin π (x + \frac{1}{x}))^{2} e sin π (x + \frac{1}{x}).

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ESERCIZIO n. 5 Si calcolino le somme delle seguenti serie:

∑_{n} nx^{n}, ∑_{n} \frac{x^{n}}{n} , ∑_{n} \frac{x^{4n−1}}{4n − 1}, ∑_{n} \frac{x^{4n}}{4n − 3}, ∑_{n} \frac{(−x)^{n+1}}{n(n + 1)}, ∑_{n} \frac{1}{(2n)!}, ∑_{n} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}, ∑_{n} \frac{n}{2^{n}} , ∑_{n} \frac{(−1)^{n}}{n}.

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ESERCIZIO n. 6 Si espliciti in termini di funzioni elementari f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin n}{n}x^{n}, 0 ≤ x ≤ 1.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 a - Si studi il dominio di convergenza in R delle serie di potenze:

∑_{n} x^{4n−2} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} x^{n}10^{n} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n}}{n} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n10^{n−1}} , ∑_{n} \frac{x^{n} sin n!}{n(n + 4)} ,

∑_{n} x^{n}n! , ∑_{n} x^{2(n−1)}2^{n−1} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n}}{n − log n} , ∑_{n} \frac{(n!)^{2}x^{n}}{(2n)!} , ∑_{n} x^{n!}

∑_{n} 2^{n}x^{n^{2}}.

b - Si determini il raggio di convergenza in C delle serie di potenze:

∑_{n} z^{n} , ∑_{n} \frac{z^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} \frac{z^{n}}{n!} , (∗) ∑_{n} \binom{α}{n}z^{n} (α ∈ C).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 a - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente: ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^{2}x^{n}}{(2n)!} . b - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente: ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^{3}x^{(n^{2})}}{(2n)!} . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Si studi il seguente problema di Cauchy per serie di potenze e si discuta

la convergenza della serie determinata: \{ \begin{matrix}(1 + x^{2})y′′(x) + y(x) = 0 , x ∈ R \\ y(0) = y′(0) = 1 \end{matrix}