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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} 

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}


\centerline{VII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 30 aprile 2003 al 21 maggio 2003}
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\noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$
El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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\noindent{\bf LEMMA } $\displaystyle{a_1, ~b_1 ,~ \dots ,~  b_n\in {\bf C}~~
\sum_{k=m}^n a_kb_k =a_n\sum_{k=m}^n b_k -
\sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} -a_k)\sum_{j=m}^k b_j}$

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\noindent{\bf TEOREMA} 

\noindent a - $\displaystyle{ a_n\to 0,~ \sum_{k=0}^{+\infty} \vert a_k
-a_{k+1}\vert<+\infty,~
\sup_{n\in{\bf N}} \left\vert \sum_{k=0}^n b_k\right\vert \le M 
<+\infty \Longrightarrow 
\sum_{k=0}^n a_kb_k ~{\rm converge}}$

\noindent b - $\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+\infty} \vert a_k
-a_{k+1}\vert<+\infty, ~\sum_{k=0}^n b_k  ~{\rm converge}~\Longrightarrow 
\sum_{k=0}^n a_kb_k ~{\rm converge}}$

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ESERCIZIO n. 1 Si mostri che la serie $\sum_n \frac {\cos nx}{\sqrt{n}},~ x\not\in
2\pi{\bf Z}$ \`e convergente.



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ESERCIZIO n. 2 Si consideri la successione $a_n =\frac1n + \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$. Si
provi che pur essendo infinitesima e a segni alterni la sua serie non \`e convergente.
Si mostri quindi che per le serie a termini di segno variabile non vale il criterio
del confronto asintotico.
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ESERCIZIO n. 3

\noindent a - Si provi mediante integrazione per parti e confronto che $\frac{ \sin x}x$ ha  
integrale in senso generalizzato su
$]0; +\infty[$ finito. Si provi che il suo valore assoluto non ha integrale finito.


\noindent b - Si provi che se $x\mapsto g(x)$ \`e una funzione definita su 
$[0;+\infty [$, 
decrescente ed infinitesima per $x\to +\infty$, e quindi non negativa, allora 
la funzione $g(x)\sin x $ ha integrale in senso generalizzato 
su $[0;+\infty]$ finito.  Che dire sull'integrale di
$|g(x)\sin x|$ su $[0;+\infty [$?



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ESERCIZIO n. 4  Si studi l'integrabilit\`a in senso generalizzato, ed eventualmente la 
convergenza degli integrali, su
$]0;+\infty[$ delle funzioni $\sin (x^2)$, 
$ \left(\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)\right)^2$ e
 $\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)$. 









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ESERCIZIO n. 5 Si calcolino le somme delle seguenti serie: 

\noindent $\displaystyle{\sum_n nx^n, ~\sum_n \frac {x^{n}}{n},~ 
\sum_n \frac {x^{4n-1}}{4n-1} ,~
\sum_n \frac {x^{4n}}{4n-3},~\sum_n \frac {(-x)^{n+1}}{n(n+1)} ,~\sum_n \frac
1{(2n)!},~	\sum_n \frac {(-1)^n}{2n+1}, ~ \sum_n \frac n{2^n},~ 
\sum_n \frac {(-1)^n}{n}
}$.








%Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delle
%seguenti funzioni $x\mapsto f(x)$:


%$$\int_{2x-3}^{x+5} \frac {te^{t-1}}{2t -7}dt~;~~\int_0^{x^2}\frac {\sin
%t}{\sqrt{1-t^2}} dt~;~~ \int_0^{\tan x} \frac {\cos t}{1+t^2} dt~.$$


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\vfill




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ESERCIZIO n. 6 Si espliciti in termini di funzioni elementari
$\displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n} x^n,~ 0\le x\le 1}$.





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ESERCIZIO n. 7

\noindent a - Si studi il dominio di convergenza in ${\bf R}$ delle serie di potenze: 


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$\displaystyle{
\sum_n x^{4n-2} ~,~~
\sum_n \frac {x^n}{n(n+1)}~,~~\sum_n x^n10^n~,~~\sum_n \frac {(-x)^n}n ~,~~ 
\sum_n  \frac {x^n}{n10^{n-1}}~,~~\sum_n \frac {x^n\sin n!}{n(n+4)}~,~~
}$

$\displaystyle{
\sum_n x^n  n! ~,~~\sum_n x^{2(n-1)} 2^{n-1} ~,~~
\sum_n \frac {x^n}{n(n+1)} ~,~~\sum_n \frac {(-x)^n}{n-\log n}~,~~
\sum_n \frac {(n!)^2 x^n}{(2n)!} ~,~~\sum_n x^{n!}
}$

$\displaystyle{
\sum_n 2^n x^{n^2}.
}$

\noindent b - Si determini il raggio di convergenza 
in ${\bf C}$ delle serie di potenze: 



$\displaystyle{
\sum_n z^n ~,~~ \sum_n \frac {z^n}{n(n+1)} ~,~~\sum_n \frac {z^n}{n!} ~,~~ (*)~
\sum_n { {\alpha}\choose{n}}z^n ~(\alpha\in{\bf C} ).
}$







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ESERCIZIO n. 8 

\noindent a - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente:
  $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac {(n!)^2 x^{n}}{(2n)!}}$.



\noindent b - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente:
  $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac {(n!)^3 x^{(n^2)}}{(2n)!}}$.







 


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ESERCIZIO n. 9 Si studi il seguente 
problema di Cauchy per serie di potenze e si
discuta 

\smallskip

la convergenza della serie determinata:
$\displaystyle{
\left\{ 
{\begin{array}{ll}
(1+x^2)y^{\prime\prime} (x) + y(x)=0 ~,~~x\in {\bf R}& \\
 ~& ~\\
y(0)=~y^\prime (0)=1
& \\
\end{array}}
\right.}$




\end{document}








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ESERCIZIO n. 8 


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\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 9 
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\end{document}

questioni numeriche

funzioni continue mai derivabili

insiemi di cantor

funzioni definite con integrali o serie

serie di errori di successioni definite per ricorrenza



