Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04 Secondo compitino - 17 dicembre 2003 - Tema n.1

Esercizio 1 Determinare il comportamento della serie ∑_{n=1}^{∞} (cos \frac{1}{\sqrt{n}} − 1).

Esercizio 2 Per quali x ∈ ℝ la serie ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n + 2^{n}} è convergente?

Esercizio 3 Calcolare, se esiste, lim_{x→+∞} ln(3^{4/x} + 1).

Esercizio 4 Quante soluzioni reali ha l’equazione e^{67x} + x^{67} = 0?

Esercizio 5 Posto f(x) = 2^{x} + x^{3}, verificare che f è bigettiva su ℝ, con inversa derivabile, e scrivere (f^{−1})′(1).

Esercizio 6 Stabilire se la funzione f(x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x + 3} ha un asintoto obliquo per x → −∞, oppure no.

Esercizio 7 Determinare, se esistono, i massimi e i minimi relativi della funzione f(x) = e^{2 cos x−|x|}.

Esercizio 8 Determinare a, b ∈ ℝ in modo che la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}arctan x & se x ≤ 1 \\ a cos πx + b sin πx & se x > 1 \end{matrix}

sia derivabile con derivata continua su ℝ.

Esercizio 9 In quali intervalli di ℝ la funzione f(x) = |x^{2}−x−2| è crescente e convessa?

Esercizio 10 Calcolare l’integrale ∫_{−π/6}^{π/3} \frac{cos t − 1}{cos t + 1} sin t dt.