Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04 Primo compitino - 6 novembre 2003 - Tema n.1

Esercizio 1 Determinare i numeri x ∈ ℝ tali che

\{ \begin{matrix}3x − 2 > −5x + \frac{3}{2} \\ 2x − \frac{1}{3} ≥ 5x − 4. \end{matrix}

Esercizio 2 Trovare le soluzioni x ∈ ℝ dell’equazione

|x^{2} − 1| − |x^{2} − 5| = 3.

Esercizio 3 Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore, stabilendo se si tratti di massimo o di minimo, dell’insieme

A = \{\frac{n^{2} + 3n + 3}{n^{3} + 1} : n ∈ ℕ\} .

Esercizio 4 Dimostrare che se a ∈]0, 1[ allora, posto

x_{0} = a; x_{n+1} = x_{n} − x_{n}^{3} ∀n ∈ ℕ,

risulta x_{n} ∈]0, 1[ per ogni n ∈ ℕ.

Esercizio 5 La funzione

f(x) = −\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} , x ∈ ℝ,

è iniettiva? Qual’è la sua immagine Y? Provare che la restrizione di f alla semiretta [0, ∞[ è iniettiva e scriverne l’inversa f^{−1} : Y → [0, ∞[.

Esercizio 6 Verificare che

\frac{1}{4} < \begin{matrix}( & {2n \atop n} & ) \\ ( & {2n+2 \atop n+1} & ) \end{matrix} < \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n}) ∀n ∈ ℕ^{+}.

Esercizio 7 Determinare l’immagine della retta r ⊂ ℝ^{2} di equazione 3x − y + 1 = 0 rispetto alla rotazione di \frac{π}{4} attorno all’origine.

Esercizio 8 Calcolare l’area del triangolo di vertici (1, 1), (2, 5) e (−1, 4).

Esercizio 9 Determinare la retta r ⊂ ℝ^{3} passante per (1, 0, −1) e perpendicolare al piano π di equazione 3x + 2y + z = 6.

Esercizio 10 Data l’iperbole di equazione x^{2} − 4y^{2} = 16, se ne trovino i fuochi e le eventuali intersezioni con gli assi.