\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\begin{document}
\centerline{\bf Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04}
\centerline{\bf Primo compitino - 6 novembre 2003 - Tema n.1}
\rule{0mm}{5mm}\\
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{\bf Esercizio 1} \ Determinare i numeri $x\in \R$ tali che
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x-2 > -5x+ \frac{3}{2} \vspace{2mm}\\
2x-\frac{1}{3} \ge 5x-4. \end{array}\right.$$
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{\bf Esercizio 2} \ Trovare le soluzioni $x\in \R$ dell'equazione
$$|x^2-1| - |x^2-5| =3.$$
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{\bf Esercizio 3} \ Determinare l'estremo superiore e l'estremo
inferiore, stabilendo se si tratti di massimo o di minimo,
dell'insieme
$$A = \left\{ \frac{n^2+3n+3}{n^3+1}: n\in \N\right\}.$$
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{\bf Esercizio 4} \ Dimostrare che se $a\in ]0,1[$ allora, posto
$$x_0=a; \quad x_{n+1}=x_n-x_n^3 \ \ \forall n\in \N,$$ 
risulta $x_n\in \, ]0,1[$ per ogni $n\in \N$. \vspace{2mm}\\
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{\bf Esercizio 5} \ La funzione 
$$f(x)= - \frac{x^2}{x^2+1}\, , \qquad x\in \R,$$
\`e iniettiva? Qual'\`e la sua immagine $Y$? Provare che la
restrizione di $f$ alla semiretta $[0,\infty[$ \`e iniettiva e
scriverne l'inversa $f^{-1}:Y\to [0,\infty[$. \vspace{2mm}\\
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{\bf Esercizio 6} \ Verificare che 
$$\frac{1}{4} < \frac{{2n \choose n}}{{2n+2 \choose n+1}} <
\frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \qquad \forall n\in \N^+.$$ 
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{\bf Esercizio 7} \ Determinare l'immagine della retta $r \subset
\R^2$ di equazione $3x-y+1=0$ rispetto alla rotazione di
$\frac{\pi}{4}$ attorno all'origine. \vspace{2mm}\\ 
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{\bf Esercizio 8} \ Calcolare l'area del triangolo di vertici $(1,1)$,
$(2,5)$ e $(-1,4)$. \vspace{2mm}\\ 
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{\bf Esercizio 9} \ Determinare la retta $r\subset \R^3$ passante per
$(1,0,-1)$ e perpendicolare al piano $\pi$ di equazione
$3x+2y+z=6$. \vspace{2mm}\\ 
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{\bf Esercizio 10} \ Data l'iperbole di equazione $x^2-4y^2=16$, se ne
trovino i fuochi e le eventuali intersezioni con gli assi.
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\end{document}
