\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\begin{document}
%-------------------------------------------------------------
\centerline{\vspace{8mm} {\LARGE Esame di Matematica - Scienze geologiche}}
\centerline{\vspace{8mm} {\Large Prova scritta del 14 gennaio 2004 -
tema n.1}}
%-------------------------------------------------------------
\centerline{{\bf Prima parte}}
\rule{0mm}{1mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 1} \ Date le rette $y=\pm 3x$ e fissato il punto 
$P=(-5,-12)$, trovare due numeri positivi $a$ e $b$ tali che l'iperbole 
di equazione 
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
passi per $P$ ed abbia tali rette come asintoti. \vspace{2mm}\\
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 2} \ Si consideri la successione definita da
$$a_n = n^2\left(\sqrt{1+n^4}-\sqrt{5+n^\alpha}\right), \qquad n\in \N,$$
e se ne calcoli il limite (se esiste) al variare del parametro 
$\alpha\in \R$. \vspace{5mm}\\
%-------------------------------------------------------------
\centerline{{\bf Seconda parte}}
\rule{0mm}{1mm}\\
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 3} \ Data la funzione 
$$f(x) = e^{100x} \left|\frac{x^2}{100} -1\right|, \qquad x\in \R,$$ 
se ne determinino: 
\begin{description}
\item[(i)] i punti di massimo e di minimo relativo,
\item[(ii)] i limiti a $\pm \infty$,
\item[(iii)] gli eventuali asintoti.
\end{description}
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 4} \ Calcolare l'integrale
$$\int_5^{10} \frac{1}{x-2\sqrt{x-1}} \, dx.$$
%-------------------------------------------------------------
\newpage
%-------------------------------------------------------------
\centerline{\vspace{8mm} {\LARGE Esame di Matematica - Scienze geologiche}}
\centerline{\vspace{8mm} {\Large Prova scritta del 14 gennaio 2004 -
tema n.2}}
%-------------------------------------------------------------
\centerline{{\bf Prima parte}}
\rule{0mm}{1mm}\\
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 1} \ Date le rette $y=\pm 2x$ e fissato il punto 
$P=(-13,-24)$, trovare due numeri positivi $a$ e $b$ tali che l'iperbole 
di equazione 
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
passi per $P$ ed abbia tali rette come asintoti. \vspace{2mm}\\
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 2} \ Si consideri la successione definita da
$$a_n = n\left(\sqrt{1+n^2}-\sqrt{3+n^\alpha}\right), \qquad n\in \N,$$
e se ne calcoli il limite (se esiste) al variare del parametro 
$\alpha\in \R$. \vspace{4mm}\\
%-------------------------------------------------------------
\centerline{{\bf Seconda parte}}
\rule{0mm}{1mm}\\
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 3} \ Data la funzione 
$$f(x) = e^{-100x} \left|\frac{x^2}{100} -1\right|, \qquad x\in \R,$$ 
se ne determinino: 
\begin{description}
\item[(i)] i punti di massimo e di minimo relativo,
\item[(ii)] i limiti a $\pm \infty$,
\item[(iii)] gli eventuali asintoti.
\end{description}
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 4} \ Calcolare l'integrale
$$\int_{\ln 10}^{\ln 100} \frac{1}{e^x-1} \, dx.$$
%-------------------------------------------------------------
\newpage
\centerline{{\bf Istruzioni per l'uso}}
\rule{0mm}{4mm}\\
{\small Questa prova scritta pu\`o essere utilizzata nei modi seguenti. 
\begin{itemize}
\item Risolveranno soltanto gli esercizi della prima parte gli studenti del 
primo anno che:
\begin{itemize}
\item hanno fatto male il primo compitino e bene il secondo;
\item hanno fatto bene i due compitini ma il primo peggio del secondo.
\end{itemize}
In questi casi la votazione (in trentesimi) della prima parte far\`a media 
col voto del secondo compitino, e, se non inferiore a 18, ammetter\`a 
all'orale. Si considerer\`a comunque la migliore fra la vecchia media dei 
compitini e la nuova media ottenuta con questa prova.
\item Risolveranno soltanto gli esercizi della seconda parte gli
studenti del primo anno che:
\begin{itemize}
\item fatto male il secondo compitino e bene il primo;
\item hanno fatto bene i due compitini ma il secondo peggio del primo.
In questi casi la votazione (in trentesimi) della seconda parte far\`a media 
col voto del primo compitino, e, se non inferiore a 18, ammetter\`a 
all'orale. Si considerer\`a comunque la migliore fra la vecchia media dei 
compitini e la nuova media ottenuta con questa prova. 
\end{itemize}
\item Risolveranno gli esercizi sia della prima che della seconda parte gli
studenti del primo anno che:
\begin{itemize} 
\item hanno fatto male entrambi i compitini;
\item hanno fatto bene i compitini ma vogliono migliorare la propria media.
\end{itemize}
In questi casi la media dei voti (in trentesimi) relativi alle due parti, 
se non inferiore a 18, ammetter\`a all'orale. Si considerer\`a comunque la 
migliore fra la vecchia media dei compitini e la nuova media ottenuta con 
questa prova.
\item Gli studenti dgli anni successivi al primo hanno diritto a sostenere 
la sola prova orale. Se fanno questa prova scritta, per intero o (avendo  
fatto i compitini) solo in parte, potranno sostenere una prova orale pi\`u 
snella e solo teorica (senza esercizi), come quella degli studenti del primo 
anno.   
\end{itemize}
Le prove orali degli studenti che sostengono questa prova devono essere 
sostenute entro la sessione di esami di gennaio-febbraio 2004. Chi non 
sostiene l'orale entro questo termine, dovr\`a ricominciare da capo con una 
nuova prova scritta nelle sessioni successive.}
\newpage
\centerline{\vspace{5mm} {\bf Soluzioni}} 
{\bf Esercizio 1} Indichiamo con $(-u,-v)$ le coordinate di $P$ (per
il tema n.1 si ha $u=5$, $v=12$ e per il tema n.2 si ha $u=13$, $v=24$);
similmente, indichiamo con $\pm p$ i coefficienti angolari delle due
rette (per il tema n.1 si ha $p=3$ e per il tema n.2 si ha $p=2$). La
prima condizione da imporre \`e che l'iperbole passi per $P$: quindi
deve essere 
$$\frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2} =1.$$
Gli asintoti si trovano osservando che l'equazione dell'iperbole si
scinde nelle due seguenti:
$$y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}, \qquad |x|\ge a.$$
Analizziamo la prima equazione, cio\`e quella col segno $+$, relativa
al ramo superiore dell'iperbole. Per $x\to +\infty$ si ha, essendo
$x=\sqrt{x^2}$,  
$$\lim_{x\to + \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x\to +\infty} 
\frac{b}{a} \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} = \frac{b}{a}\, ,$$
$$\lim_{x\to +\infty} \left(y-\frac{b}{a}x\right) = \lim_{x\to +\infty}
\frac{b}{a} \left(\sqrt{x^2-a^2} - x\right) = \lim_{x\to +\infty}
\frac{-ab}{\sqrt{x^2-a^2}+x} = 0.$$
Analogamente, per $x\to -\infty$ si ha, essendo $x=-\sqrt{x^2}$, 
$$\lim_{x\to - \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x\to -\infty} 
\frac{b}{a}\left(- \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\right) = - \frac{b}{a}\, ,$$
$$\lim_{x\to -\infty} \left(y+\frac{b}{a}x\right) = \lim_{x\to -\infty}
\frac{b}{a} \left(\sqrt{x^2-a^2} - |x|\right) = \lim_{x\to -\infty}
\frac{ab}{\sqrt{x^2-a^2}+|x|} = 0.$$
Dunque il ramo superiore dell'iperbole ($y>0$) ha per asintoti obliqui
la retta $y=\frac{b}{a}x$ per $x\to +\infty$ e la retta
$y=-\frac{b}{a}x$ per $x\to -\infty$.\\
Il ramo inferiore ($y<0$), per motivi di simmetria rispetto all'asse $x$,
avr\`a per asintoti obliqui la retta $y=-\frac{b}{a}x$ per $x\to
+\infty$ e la retta $y=\frac{b}{a}x$ per $x\to -\infty$. \\
In definitiva, dobbiamo richiedere ai coefficienti $a$ e $b$ la
condizione
$$\frac{b}{a} = p.$$
Dobbiamo dunque risolvere il sistema
$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\frac{u^2}{a^2} +
\frac{v^2}{b^2} =1} \vspace{2mm}\\
\displaystyle{\frac{b}{a} = p,} \end{array}\right.$$
ricordando che si richiede $a>0$, $b>0$. \\
Per il tema n.1 la soluzione \`e $a=3$ e $b=9$; per il tema n. 2 la
soluzione \`e $a=5$ e $b=10$. \vspace{2mm}\\
{\bf Esercizio 2} Per il tema n.1 si ha
$$n^2 \left(\sqrt{1+n^4}-\sqrt{5+n^\alpha}\right) = n^2 \frac{-4 + n^4
- n^\alpha}{\sqrt{1+n^4}+\sqrt{1+n^\alpha}}\, .$$
Se $\alpha <4$ il limite \`e $+\infty$ in quanto la frazione si
comporta come $n^{2+4-4/2}$, ossia come $n^4$. Se $\alpha=4$ il
denominatore va come $2n^2$ e il numeratore \`e $-4n^2$, per cui
il limite \`e $-2$. Infine se $\alpha>4$ l'intera frazione si comporta
come $-n^{2+\alpha -\alpha/2}$ e quindi il limite \`e $-\infty$.\\
Per il tema n.2 invece si ha
$$n\left(\sqrt{1+n^2}-\sqrt{3+n^\alpha}\right) = n
\frac{-2+n^2-n^\alpha}{\sqrt{1+n^2}+\sqrt{3+n^\alpha}}\, .$$
Se $\alpha <2$ il limite \`e $+\infty$ in quanto la frazione si
comporta come $n^{1+2-2/2}$, ossia come $n^2$. Se $\alpha=2$ il
denominatore va come $2n$ e il numeratore \`e $-2n$, per cui
il limite \`e $-1$. Infine se $\alpha>2$ l'intera frazione si comporta
come $-n^{1+\alpha -\alpha/2}$ e quindi il limite \`e
$-\infty$.\vspace{2mm}\\ 
{\bf Esercizio 3} La funzione del tema n.2 si ottiene da quella del
tema n.1 cambiando $x$ con $-x$: quindi il suo comportamento \`e il
simmetrico rispetto all'asse $y$ di quello della funzione del tema
n.1. Analizziamo quindi la funzione del tema n.1 e cio\`e
$$f(x) = e^{100x} \left|\frac{x^2}{100} -1\right|, \qquad x\in \R.$$
{\bf (i)} Si ha
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 
\displaystyle{e^{100x} \left(\frac{x^2}{100} -1\right)} & \textrm{se }
|x|>10,\vspace{2mm}\\
\displaystyle{e^{100x} \left(1-\frac{x^2}{100}\right)} & \textrm{se }
x\in [-10,10].\end{array}\right.$$
La funzione \`e sempre non negativa ed \`e nulla per $x=\pm 10$: tali
punti sono quindi punti di minimo assoluto, quindi anche relativo. \\
Cerchiamo i punti di massimo relativo. In $[-10,10]$ si ha
$$f'(x) = e^{100x} \left(100 - x^2 - \frac{x}{50}\right);$$
quindi in tale intervallo si ha $f'(x)\ge 0$ se e solo se 
$$-x^2-\frac{x}{50} +100 \ge 0$$
cio\`e se e solo se 
$$\frac{-1-\sqrt{1000001}}{100} \le x \le \frac{-1+\sqrt{1000001}}{100}.$$
Poich\'e 
$$\frac{-1-\sqrt{1000001}}{100} < -\frac{\sqrt{1000000}}{100} = -
10,$$
$$0 <\frac{-1+\sqrt{1000001}}{100} = 
\frac{1000000}{100(1+\sqrt{1000001})} < \frac{1000000}{100\cdot 1000} =
10,$$
la funzione ha un massimo relativo in $x_1
=\frac{-1+\sqrt{1000001}}{100}$. \\
In $[10,\infty[ \cup ]-\infty,-10]$ si ha
$$f'(x) = e^{100x} \left(x^2 -100 + \frac{x}{50}\right);$$
quindi $f'(x)\ge 0$ se e solo se
$$x \le \frac{-1-\sqrt{1000001}}{100} \quad \textrm{oppure} \quad x
\ge \frac{-1+\sqrt{1000001}}{100};$$ 
essendo, come sappiamo, 
$$\frac{-1-\sqrt{1000001}}{100} <-10, \quad 0
<\frac{-1+\sqrt{1000001}}{100} <10,$$ 
il punto $x_2=\frac{-1-\sqrt{1000001}}{100}$ \`e di massimo
relativo. \\
Per la funzione del tema n.2 si avr\`a che i punti di minimo relativo
sono ancora $x=\pm 10$, mentre i punti di massimo relativo sono 
$$x_1=\frac{1-\sqrt{1000001}}{100}\, , \qquad
x_2=\frac{1+\sqrt{1000001}}{100}\, .$$
{\bf (ii)} Si ha, per la funzione del tema n.1, 
$$\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)
= 0.$$
Per la funzione del tema n.2 si ha, analogamente,
$$\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0, \qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)
= +\infty.$$
{\bf (iii)} La funzione del tema n.1 ha l'asintoto orizzontale $y=0$
per $x\to -\infty$. Poich\'e inoltre
$$\lim_{x\to +\infty} {f(x)}{x} = +\infty,$$
essa non ha asintoto per $x\to +\infty$. Per la funzione n.2,
simmetricamente, c'\`e l'asintoto orizzontale $y=0$ per $x\to +\infty$
e non c'\`e asintoto per $x\to -\infty$.\vspace{2mm}\\
{\bf Esercizio 4} Calcoliamo l'integrale del tema n.1: con la
sostituzione $t=\sqrt{x-1}$ si ha $x=1+t^2$, $dx = 2t\, dt$ e quindi
\begin{eqnarray*}
\int_5^{10} \frac{1}{x-2\sqrt{x-1}} \, dx & = & \int_2^3
\frac{2t}{1+t^2-2t}\, dt = \int_2^3 \frac{2t}{(t-1)^2}\, dt =\\
& = & \int_2^3 \frac{2t-2}{(t-1)^2} \, dt + \int_2^3
\frac{2}{(t-1)^2}\, dt = \\
& = & \left[ 2\ln (t-1)^2 - \frac{2}{t-1} \right]_2^3 = 2 \ln 4 - 1+
2=\\
& = & 4\ln 2 +1. 
\end{eqnarray*}
Calcoliamo l'integrale del tema n.2: con la
sostituzione $t=e^x$ si ha $x=\ln t$, $dx = dt/t$ e quindi 
\begin{eqnarray*}
\int_{\ln 10}^{\ln 100} \frac{1}{e^x-1} \, dx & = & \int_{10}^{100}
\frac{dt}{t(t-1)} = \int_{10}^{100}
\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}\right)dt = \\
& = & \left[ \ln \frac{t-1}{t}\right]_{10}^{100} = \ln \frac{99}{100}
- \ln \frac{9}{10} = \ln \frac{11}{10}\,.
\end{eqnarray*}
\end{document}
