Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04 Secondo compitino - 17 dicembre 2003 - Tema n.2

Esercizio 1 Determinare il comportamento della serie ∑_{n=1}^{∞} (cos \frac{1}{\sqrt{n}} − 1)^{2}.

Esercizio 2 Per quali x ∈ ℝ la serie ∑_{n=1}^{∞} \frac{(3x)^{n}}{n} è convergente?

Esercizio 3 Calcolare, se esiste, lim_{x→−∞} 10^{−x^{2}−2x}.

Esercizio 4 Quante soluzioni reali ha l’equazione e^{−99x} − x^{99} = 0?

Esercizio 5 Posto f(x) = x^{3} − 3^{−x}, verificare che f è bigettiva su ℝ, con inversa derivabile, e scrivere (f^{−1})′(−1).

Esercizio 6 Stabilire se la funzione f(x) = ln(e^{x} + sin x) ha un asintoto obliquo per x → +∞, oppure no.

Esercizio 7 Determinare, se esistono, i massimi e i minimi relativi della funzione f(x) = ln(2 cos x + |x| + 2).

Esercizio 8 Determinare a, b ∈ ℝ in modo che la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}arctan x & se x ≤ −1 \\ πa + be^{−x} & se x > −1 \end{matrix}

sia derivabile con derivata continua su ℝ.

Esercizio 9 In quali intervalli di ℝ la funzione f(x) = |x^{2} + x − 2| è decrescente e convessa?

Esercizio 10 Calcolare l’integrale ∫_{π/6}^{π/3} \frac{cos t + 1}{cos t − 1} sin t dt.