\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\begin{document}
\centerline{\bf Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04}
\centerline{\bf Secondo compitino - 17 dicembre 2003 - Tema n.2}
\rule{0mm}{5mm}\\
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 1} \ Determinare il comportamento della serie 
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left( \cos \frac{1}{\sqrt{n}} -1
\right)^2}$. \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 2} \ Per quali $x\in \R$ la serie $\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x)^n}{n}}$ \`e convergente? \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 3} \ Calcolare, se esiste, $\displaystyle{\lim_{x\to
-\infty} 10^{-x^2-2x}}$. \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 4} \ Quante soluzioni reali ha l'equazione
$e^{-99x}-x^{99}=0$? \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 5} \ Posto $f(x)=x^3 - 3^{-x}$, verificare che $f$ \`e
bigettiva su $\R$, con inversa derivabile, e scrivere
$(f^{-1})'(-1)$. \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 6} \ Stabilire se la funzione
$\displaystyle{f(x)=\ln (e^x+\sin x)}$ ha un asintoto obliquo per
$x\to +\infty$, oppure no. \vspace{3mm}\\  
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 7} \ Determinare, se esistono, i massimi e i minimi
relativi della funzione $f(x)=\ln (2\cos x + |x| +2)$. \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 8} \ Determinare $a,b\in \R$ in modo che la funzione 
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \arctan x & \textrm{se } x\le -1 \\
\pi a + b e^{-x} & \textrm{se } x>-1 \end{array}\right.$$
sia derivabile con derivata continua su $\R$. \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 9} \ In quali intervalli di $\R$ la funzione $f(x)=|x^2+x-2|$
\`e decrescente e convessa? \vspace{3mm}\\ 
%-------------------------------------------------------------
{\bf Esercizio 10} \ Calcolare l'integrale
$\displaystyle{\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos t +1}{\cos t -1} \,
\sin t\, dt}$.  
%-------------------------------------------------------------
\end{document}
