Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04 Primo compitino - 6 novembre 2003 - Tema n.2

Esercizio 1 Determinare i numeri x ∈ ℝ tali che

\{ \begin{matrix}x − 2 ≤ 2x \\ 2x < −\frac{1}{2} x − \frac{5}{2} . \end{matrix}

Esercizio 2 Trovare le soluzioni x ∈ ℝ dell’equazione

|x + 1| − 2(|x| − 3) = 0.

Esercizio 3 Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore, stabilendo se si tratti di massimo o di minimo, dell’insieme

A = {x + y : x, y ∈ ℝ, x^{2} + y^{2} < 1}.

Esercizio 4 Dimostrare che il numero d_{n} delle diagonali di un poligono regolare di n lati è

d_{n} = \frac{n(n − 3)}{2} .

Esercizio 5 La funzione

f(x) = −\sqrt{x^{2} + 1}, x ∈ ℝ,

è iniettiva? Qual’è la sua immagine Y? Provare che la restrizione di f alla semiretta [0, ∞[ è iniettiva e scriverne l’inversa f^{−1} : Y → [0, ∞[.

Esercizio 6 Verificare che

2^{n} < \binom{2n}{n} < 4^{n} ∀n ∈ ℕ^{+}, n ≥ 2.

Esercizio 7 Determinare la simmetrica della retta r ⊂ ℝ^{2} di equazione x − y + 1 = 0 rispetto alla retta di equazione x − \sqrt{3}y = 0.

Esercizio 8 Calcolare l’area del parallelogramma generato dai vettori OP e OQ, ove O = (0, 0), P = (4, 2) e Q = (−1, 5).

Esercizio 9 Determinare il piano π ⊂ ℝ^{3} passante per (10, 1, −10) e perpendicolare alla retta di equazioni parametriche

x = 2, y = 1 + t, z = 2 + 2t, t ∈ ℝ.

Esercizio 10 Data l’ellisse di equazione 4x^{2} +9y^{2} = 1, se ne trovino i fuochi e le intersezioni con gli assi.