\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\begin{document}
\centerline{\bf Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04}
\centerline{\bf Primo compitino - 6 novembre 2003 - Tema n.2}
\rule{0mm}{5mm}\\
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{\bf Esercizio 1} \ Determinare i numeri $x\in \R$ tali che
$$ \left\{ \begin{array}{l} x-2 \le 2x \vspace{2mm}\\
2x < -\frac{1}{2}\, x - \frac{5}{2}\, . \end{array}\right.$$
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{\bf Esercizio 2} \ Trovare le soluzioni $x\in \R$ dell'equazione
$$|x+1| - 2(|x|-3) =0.$$
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{\bf Esercizio 3} \ Determinare l'estremo superiore e l'estremo
inferiore, stabilendo se si tratti di massimo o di minimo,
dell'insieme
$$A = \{x+y: \ x,y\in \R,\ x^2+y^2<1\}.$$
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{\bf Esercizio 4} \ Dimostrare che il numero $d_n$ delle diagonali di
un poligono regolare di $n$ lati \`e 
$$d_n = \frac{n(n-3)}{2} \, .$$
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{\bf Esercizio 5} \ La funzione 
$$f(x)= - \sqrt{x^2+1}, \qquad x\in \R,$$
\`e iniettiva? Qual'\`e la sua immagine $Y$? Provare che la
restrizione di $f$ alla semiretta $[0,\infty[$ \`e iniettiva e
scriverne l'inversa $f^{-1}:Y\to [0,\infty[$. \vspace{2mm}\\
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{\bf Esercizio 6} \ Verificare che 
$$2^n < {2n \choose n} < 4^n \qquad \forall n\in \N^+,\ n\ge 2.$$ 
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{\bf Esercizio 7} \ Determinare la simmetrica della retta $r \subset
\R^2$ di equazione $x-y+1=0$ rispetto alla retta di equazione 
$x-\sqrt{3}y=0$. \vspace{2mm}\\ 
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{\bf Esercizio 8} \ Calcolare l'area del parallelogramma generato dai
vettori $OP$ e $OQ$, ove $O=(0,0)$, $P=(4,2)$ e
$Q=(-1,5)$. \vspace{2mm}\\  
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{\bf Esercizio 9} \ Determinare il piano $\pi\subset \R^3$ passante per
$(10,1,-10)$ e perpendicolare alla retta di equazioni parametriche 
$$x=2, \quad y=1+t, \quad z=2+2t, \qquad t\in \R.$$
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{\bf Esercizio 10} \ Data l'ellisse di equazione $4x^2+9y^2=1$, se ne
trovino i fuochi e le intersezioni con gli assi.
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\end{document}
