Corso di Laurea in Scienze Geologiche, A.A. 2003-2004, Matematica

30 ottobre 2003

Definizione: - Si dice rango di una matrice il numero massimo per cui una sottomatrice quadrata con tale dimensione ha determinante non nullo. Definizione: Se A = (a_{j}^{i})_{1≤i≤m, 1≤j≤n} è una matrice con m righe ed n la matrice trasposta è (a_{i}^{j})_{1≤j≤n, 1≤i≤m} =_{def} A^{t}. Quindi la trasposta di una matrice con una

riga ed n colonne (a, b …) sarà ( ⋮^{{a \atop b}} ), con n colonne ed una riga.

NOTAZIONE: un elemento di R^{d} considerato come vettore (di spostamento ovvero velocità etc. ) su cui si agisce conviene scriverlo come matrice con d righe ed una colonna. Se si considera come matrice relativa ad un’applicazione lineare da R^{d} ad R (come vettore che agisce come forza ovvero impulso etc. ) come matrice con una riga e d colonne. Nel primo caso le coordinate generiche vengono scritte con indici in alto, nel secondo con indici in basso.

- Questa convenzione si estende quando: si rappresenta una funzione lineare da R^{n} a R^{m} come azione di una matrice con il prodotto (scalare) riga i^{a} della matrice per colonna del vettore dato per avere la i^{a} componente del vettore risultato; quando si rappresenta la composizione di due funzioni lineari come prodotto righe per colonne delle matrici ad esse rispettivamente associate. Esercizio: la relazione tra trasposto e prodottto righe per colonne è (AB)^{t} = B^{t}A^{t}.

- Si dimostra che il rango di una matrice con m righe ed n colonne A = (a_{j}^{i})_{1≤i≤m, 1≤j≤n} è la dimensione dell’immagine dell’applicazione lineare da R^{n} in R^{m} associata:

(x^{1}, …, x^{n})^{t} = \binom{x^{1}}{⋮_{x^{n}}} ↦ (a_{1}^{1}x^{1} + … a_{n}^{1}x^{n}, …, a_{1}^{m}x^{1} + … a_{n}^{m}x^{n})^{t} = (∑_{1≤j≤n} a_{j}^{i}x^{j})_{1≤i≤m}^{t}

Definizione: - Il luogo di zeri di una funzione polinomiale di secondo grado in n variabili:

∑_{1≤i,j≤n} a_{j}^{i}x^{j}x_{i} + 2 ∑_{1≤i≤n} b_{i}x^{i} + c , ∑_{1≤i,j≤n} |a_{j}^{i}|^{2} ≠ 0, cioè x^{t}Ax + 2b^{t}x+c , A ≠ 0_{n×n}

x̃^{t}Ã x̃ , x̃ = \binom{1}{x} , Ã = ( c ; \overline{b}| b^{t} ; \overline{A}) , A ≠ 0_{n×n}

si dice quadrica. Se n = 2 conica. Una quadrica si dice non degenere se detÃ ≠ 0. Osservazione: Poiché: ∑ a_{ij}x_{i}x_{j} = ∑ \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2} x_{i}x_{j}, si assume che A, e quindi Ã, sia una matrice simmetrica; i.e. a_{ij} = a_{ji}. Osservazione: si é identificato x ∈ R^{n} con il sottospazio affine degli \binom{x^{0}}{x} ∈ R^{n+1}

con la prima coordinata eguale ad 1: x^{0} = 1. Conviene quindi osservare che il gruppo affine su R^{n} puó essere identificato con un sottogruppo, del gruppo lineare su R^{n+1}, che agisce su tale sottospazio affine di R^{n+1} nel seguente modo: alla trasformazione affine x ↦ w + Nx da R^{n} in se si associa l’azione della matrice:

( 1 \overline{w} | 0^{t} ; \overline{N} ) \binom{1}{x} = \binom{1}{w + Nx}

( 1 \overline{z} | 0^{t} ; \overline{P} ) ( 1 \overline{w} | 0^{t} ; \overline{N} ) = ( 1 ; \overline{z + P w} | 0^{t} ; \overline{P N} ) , ( 1 \overline{w} | 0^{t} ; \overline{N} )( 1 ; \overline{−N^{−1}w} | 0^{t} ; \overline{N^{−1}} ) = Id_{n+1}

Nelle variabili y = −v + M^{−1}x, considerando che x̃ = ( 1 ; \overline{Mv}| 0^{t} ; \overline{M} )ỹ, si ottiene :

ỹ^{t} [( 1 \overline{0} |v^{t}M^{t} ; \overline{M^{t}} )( c ; \overline{b}| b^{t} ; \overline{A})( 1 ; \overline{Mv}| 0^{t} ; \overline{M} )] ỹ

CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE CONICHE

Ogni conica puó essere trasformata in una delle seguenti con un cambiamento di coordinate affine del tipo x ↦ w + Nx.

\begin{matrix}& & & detA > 0: \\ x^{2} + y^{2} − 1 = 0 & Ellisse reale & ◯ & rkÃ = 3, det Ã < 0; \\ x^{2} + y^{2} + 1 = 0 & Ellisse immaginaria (vuoto) & ∅ & rkÃ = 3, det Ã > 0; \\ x^{2} + y^{2} = 0 & Ellisse degenere (un punto) & · & rkÃ = 2. \\ & & & detA < 0: \\ x^{2} − y^{2} − 1 = 0 & Iperbole & ) ( & rkÃ = 3; \\ x^{2} − y^{2} = 0 & Iperbole degenere & \/ & rkÃ = 2, \\ & (rette incidenti) \end{matrix} \} A C E N T R O

detA = 0:
y^{2} − x = 0  Parabola  ⋃· rkÃ = 3, rkA = 1
y^{2} − 1 = 0  Parabola degenere  = rkÃ = 2, rkA = 1

(rette parallele)

y^{2} + 1 = 0  Parabola degenere (vuoto:  ∅ rkÃ = 2, rkA = 1

rette immaginarie separate)

y^{2} = 0  C. doppiamente degenere  − rkÃ = 1

(retta “doppia”)

Una famiglia di invarianti classificante é quindi data da sign(detA), rkÃ, rkA, sign(detÃ).

CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE NON DEGENERI

Ogni quadrica non degenere puó essere trasformata in una delle seguenti con un cambiamento di coordinate affine.

rkÃ = n + 1
∑_{i=1}^{p}(x^{i})^{2} − ∑_{i=p+1}^{n}(x^{i})^{2} − 1 = 0  Tipo ellisse-iperbole detA ≠ 0

∑_{i=1}^{p}(x^{i})^{2} − ∑_{i=p+1}^{n−1}(x^{i})^{2} − x^{n} = 0 Tipo parabola  rkA = n − 1

QUADRICHE NELLO SPAZIO

detA > 0
x^{2} + y^{2} + z^{2} − 1 = 0 Ellissoide  rkÃ = 4, detÃ < 0
x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0 Ellissoide immaginario rkÃ = 4, detÃ > 0

(vuoto)

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0  Ellissoide degenere  rkÃ = 3, detÃ = 0

(un punto)

detA < 0
x^{2} + y^{2} − z^{2} − 1 = 0 Iperboloide iperbolico rkÃ = 4, detÃ > 0

ad una falda

x^{2} + y^{2} − z^{2} + 1 = 0 Iperboloide ellittico  rkÃ = 4, detÃ < 0

a due falde

x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0  Iperboloide degenere  rkÃ = 3, detÃ = 0

(doppio cono)

detA = 0, rkÃ = 4
x^{2} + y^{2} − z = 0 Paraboloide ellittico rkA = 2
detÃ < 0
x^{2} − y^{2} − z = 0  Paraboloide iperbolico rkA = 2
(sella)  detÃ > 0
detA = 0, rkÃ = 3
x^{2} − y = 0  Paraboloide degenere rkA = 1

(cilindro parabolico)

x^{2} ± y^{2} ± 1 = 0  Cilindri su coniche non rkA = 2

degeneri con centro, eventualmente il vuoto

detA = 0, rkÃ = 2
x^{2} ± 1 = 0  Vuoto o piani paralleli rkA = 1
x^{2} ± y^{2} = 0  Retta o piani incidenti rkA = 2
detA = 0, rkÃ = 1
x^{2} = 0  Piano“doppio”  rkA = 1