\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article}
\message{esercizi di analisi II}
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\newcommand{\rem}[1]{}  %per commentare intere porzioni di testo
\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
\newcommand{\R}{{\bf R}}
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}}            %% numeri reali
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}            %% numeri razionali
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}            %% naturali
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


\begin{document}
%\vbox{\center{\Large Esercitazioni di Analisi Matematica II}
%\center{Corso di Laurea in Fisica, A.A. 1999-2000}
%\center{23-25 novembre 1999}}

\vbox{\center{Corso di Laurea in Scienze Geologiche, A.A. 2003-2004, Matematica}
\center{30 ottobre 2003}
}
\medskip


%\noindent {\bf Definizione:} - Sia ${\cal G}$ un gruppo di funzioni bigettive da
% un insime $M$ in se, rispetto alla composizione di funzioni. Due elementi di $M$ si
%dicono ${\cal G}$-{\it equivalenti} se uno \'e l'immagine dell'altro mediante un
%elemento di ${\cal G}$.
%
%- Si dice che una funzione $f$ con dominio in $M$ 
%\'e un invariante per il gruppo su una certa famiglia, 
%se dati due elementi $A$ e $B$ della data famiglia per cui  
%$A$ \'e ${\cal G}$-equivalente a $B$ allora $f(A)=f(B)$.

%- Una classe di invarianti per il gruppo su di una famiglia si dice classificante se
%la coincidenza di essi determina l'equivalenza.

\noindent {\bf Definizione:} - Si dice {\it rango } di una matrice il 
numero massimo per cui una sottomatrice quadrata con tale dimensione ha 
determinante non nullo.

\noindent {\bf Definizione:} Se $A=(a^i_j)_{1\le i\le m, ~1\le j\le n}$ \`e una matrice con 
 $m$ righe ed $n$  la {\it matrice trasposta} \`e   
 $(a^j_i)_{1\le j\le n, ~1\le i\le m}=_{\rm def}A^t$. Quindi la trasposta di una 
matrice con una riga  ed $n$ colonne $(a, b \dots )$ sar\`a 
${\left({{ a\atop b}\atop \vdots}\right)} $, con $n$ colonne ed una riga. 



\noindent NOTAZIONE: un elemento di ${\bf R}^d$ considerato come {\it vettore} 
(di {\it spostamento} ovvero {\it velocit\`a} etc. ) 
su cui si agisce conviene scriverlo come matrice con $d$ righe ed una colonna.
Se si considera come matrice relativa ad un'applicazione 
lineare da ${\bf R}^d$ ad ${\bf R}$ (come vettore che agisce come 
 {\it forza} ovvero  {\it impulso} etc. ) come matrice con una riga e $d$ colonne.
Nel primo caso le coordinate generiche vengono scritte con indici in alto, 
nel secondo con indici in basso.

\noindent -  Questa convenzione si estende quando: si rappresenta una 
{\it funzione lineare} da ${\bf R}^n$ a ${\bf R}^m$ come azione di una matrice
con il prodotto (scalare) {\it riga i$^a$ della matrice per colonna} del vettore 
dato per avere la {\it i}$^a$ componente del vettore risultato; quando si rappresenta la 
{\it composizione} 
di due funzioni lineari come prodotto {\it righe per colonne}
 delle matrici ad esse 
rispettivamente associate.

\noindent {\bf Esercizio}: la relazione tra trasposto e prodottto righe per colonne
\`e  $\left( AB\right)^t =B^t A^t$.

\noindent - Si dimostra che il rango di una matrice con $m$ righe ed $n$ colonne 
$A=(a^i_j)_{1\le i\le m, ~1\le j\le n}$ \`e la {\it dimensione 
dell'immagine} dell'applicazione lineare
 da ${\bf R}^n$ 
in ${\bf R}^m$ associata:

\noindent $(x^1 , \dots , x^n)^t = {\left( x^1\atop{\vdots\atop {x^n}}\right)} \mapsto 
\left( a^1_1 x^1 + \dots a^1_n x^n ,  \dots ,
 a^m_1 x^1 +\dots a^m_n x^n \right)^{\bf t}= \left( \sum_{1\le  j\le n	
} a_{j}^i x^j \right)_{1\le i\le m}^{\bf t}$


\noindent {\bf Definizione:} - Il luogo di zeri di una funzione polinomiale
 di secondo grado in $n$ variabili:
\[ \sum_{1\le i, j\le n	} a_{j}^i x^j x_i ~+~ 2\sum_{1\le i \le n} b_i x^i ~+~ c ~,~~
\sum_{1\le i, j\le n	} |a_{j}^i|^2\not= 0,~\hbox{\rm cio\`e}~~~ {\bf x}^t A {\bf x} ~+~ 2{\bf b}^t{\bf x} +c ~,~~ A\not= {\bf 0}_{n\times n}\]
\[\widetilde{\bf x}^t\widetilde A  \widetilde{^{\,}{\bf x}}~,~~\widetilde{\bf x}=
{\left({1\atop {\bf x}}\right)}~,~~\widetilde A={\left(\left.{c\atop \overline{{\bf
b}~}}\!\!\right\vert 
 {{\bf b}^t\atop\!\!\!\overline{~\phantom{b} A}}\right)}~,~~ A\not= {\bf 0}_{n\times n} \]

\noindent si dice {\it quadrica}. Se $n=2$ {\it conica}. 
Una quadrica si dice {\it non degenere} se ${\rm det} \widetilde A\not=0$.
%- Una quadrica si dice {\it non degenere} se ${\rm det} \widetilde A\not=0$.


%\noindent {\bf Osservazione:} le coniche ({\it orbite piane}) si ottengono intersecando un
%doppio cono simmetrico con un piano.



\noindent {\bf Osservazione:} Poich\'e: $\sum a_{ij}x_i x_j ~=~\sum 
\frac{a_{ij} +a_{ji}}2 x_i x_j $, si assume che $A$, e quindi $\widetilde A$, sia una
{\it matrice simmetrica}; {\it i.e.} $a_{ij } =a_{ji}$. 



\noindent {\bf Osservazione:} si \'e identificato ${\bf x}\in\R^n$ con 
il sottospazio affine degli 
$\left({x^0\atop{\!\! {\bf x}}}\right)\in \R^{n+1} $ 
con la prima coordinata eguale ad $1$:
$x^0=1$. Conviene quindi osservare che  
il gruppo affine su $\R^n$ pu\'o essere identificato con
un sottogruppo, del gruppo lineare su $\R^{n+1}$, che agisce su tale sottospazio
affine di $\R^{n+1}$ nel seguente modo: alla trasformazione affine
${\bf x}\mapsto {\bf w}+N{\bf x}$ da $\R^n$ in se si associa l'azione della 
matrice:
%\[\hbox{\rm alla trasformazione affine  } {\bf x}\mapsto {\bf w}+N{\bf x} ~
%{\rm su }~
%\R^n \hbox{ si associa l'azione della matrice: }\]

\[ \left(
\left.{
1\atop {
\overline{{\bf w}\phantom{N}}\!\!\!
}
}\right\vert
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~~ N}}
\right)
\left({1\atop {\bf x}}\right)
~=~\left({1\atop {\bf w}+ N{\bf x}}\right) \]




\[ \left(
\left.{
1\atop {
\overline{{\bf z}\phantom{P}}\!\!\!
}
}\right\vert
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~~ P}}
\right)
\left(
\left.{
1\atop {
\overline{{\bf w}\phantom{N}}\!\!\!
}
}\right\vert
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~~ N}}
\right)=
\left(
\left.{
1\atop {
\overline{{\bf z}+P{\bf w}~}\!
}
}\!\right\vert
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~PN}}
\right)\, ,~~
{\left(\left.{
1\atop{
\overline{{\bf w}\phantom{N}}\!\!\!
}
}\right\vert 
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~ N}}\right)}
 {\left(\left.{1\atop \overline{
-N^{-1}{\bf w}~}}\!\!\right\vert 
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~ N^{-1}}}\right)} = Id_{n+1}\]

\noindent Nelle variabili 
% Per scrivere la quadrica rispetto alle variabili 
${\bf y}= -{\bf v} +M^{-1}{\bf x}$,
considerando che $\widetilde {\bf x} =
{\left(\left.{
1\atop{
\overline{M{\bf v}~}\!\!\!
}
}\right\vert 
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~ M}}\right)}
\widetilde {\bf y}$, si ottiene 
%la polinomiale
:

\[
\widetilde{\bf y}^t
\left[
{
\left(\left.{
{1~}\atop{
\overline{~{\bf 0}\!\!\!\phantom{{M^t}}}\!
}
}\!\right\vert 
\!\!\! {\,{\bf v}^tM^t\atop\!\!\overline{~~M^{^t}}}\right)
}
{
\left(\left.{c\atop \overline{{\bf
b}~}}\!\!\right\vert 
 {{\bf b}^t\atop\!\!\!\overline{~\phantom{b} A}}\right)
}
{
\left(\left.{
1\atop{
\overline{M{\bf v}~}\!\!\!
}
}\right\vert 
 {{\bf 0}^t\atop\!\!\!\overline{~ M}}\right)}
\right]
\widetilde {\bf y}
\]

\vfill
\break
\eject

\vbox{\center{\Large CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE CONICHE}}

\bigskip
\noindent Ogni conica pu\'o essere trasformata in una delle seguenti con un 
cambiamento di
coordinate affine del tipo ${\bf x}\mapsto {\bf w} +N{\bf x}$.

\medskip


\noindent$\!\!\!\left.
\hbox{
\begin{tabular}{| l | l | c | l |}
\hline
&  & &${\rm det}A > 0$: \\
$x^2 +y^2 -1 =0$& Ellisse reale & $\bigcirc$&rk$\widetilde A=3$, det $\widetilde
A<0$;\\
$x^2 +y^2 +1 =0$ &Ellisse immaginaria ({\pic vuoto})&$\emptyset$&rk$\widetilde A=3$, 
det $\widetilde A>0$;\\
$x^2 +y^2 =0$& Ellisse degenere  ({\pic un punto})&${\bf \cdot}$&rk$\widetilde A=2$.
 \\
\hline
&   &&${\rm det}A < 0$:\\
&&&\\
$x^2 -y^2 -1=0$ &Iperbole& ) ~ (& rk$\widetilde A=3$;\\
$x^2 -y^2 =0$&Iperbole degenere & $\backslash \!\!\! /$&  rk$\widetilde A=2$,\\
&  ({\pic rette incidenti})&& \\
\hline
\end{tabular}
}\right\}\begin{array}{l}{\rm A}\\
{\rm ~}\\
{\rm C}\\
{\rm E}\\
{\rm N}\\
{\rm T}\\
{\rm R}\\
{\rm O}\\
\end{array}~~$ 

\noindent \begin{tabular}{| l | l | c | l |}
$\phantom{x^2 +y^2 -1 =0\!}$& &&  ${\rm det}A =0$:\\
$y^2 -x =0$&Parabola& $\bigcup\!\!\!\!\cdot ~$~& rk$\widetilde A=3$,  rk$ A=1$\\
$y^2 -1=0$& Parabola degenere &$=\!\! =\!\!=$& rk$\widetilde A=2$,  rk$ A=1$ \\
&({\pic  rette parallele})&&
$\phantom{{\rm rk}\widetilde A=3{\rm , ~det}\widetilde
A<0{\rm ;}~\!}$\\
$y^2 +1=0$& Parabola degenere ({\pic vuoto:~~~~}&$\emptyset$&rk$\widetilde A=2$,  rk$ A=1$\\
& {\pic rette immaginarie separate})&& \\
& &&\\
$y^2 =0$&C. doppiamente degenere&$-\!\!\!\! -\!\!\!\! -$& rk$\widetilde A=1$\\
&({\pic retta ``doppia''})&& \\
\hline 
\end{tabular}

\bigskip



\noindent Una famiglia di invarianti classificante \'e quindi data da 
${\rm sign}({\rm det} A)$, 
${\rm rk}\widetilde A$, ${\rm rk}A$,  
${\rm sign}({\rm det} \widetilde A)$.
\vfill
\break 
\eject
\vbox{\center{\Large CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE NON DEGENERI}}

\bigskip
\noindent Ogni quadrica non degenere pu\'o essere trasformata 
in una delle seguenti con un cambiamento di
coordinate affine.


\bigskip

\begin{tabular}{| l | l | l|}
\hline
 & & rk$\widetilde A=n+1$\\
\hline
&&\\
$\sum_{i=1}^p (x^i)^2  -\sum_{i=p+1}^n(x^i)^2 -1 =0$& Tipo 
ellisse-iperbole &${\rm det}A \not= 0$ \\
&&\\
\hline 
&&\\
$\sum_{i=1}^p (x^i)^2  ~-\sum_{i=p+1}^{n-1}(x^i)^2 ~-x^n =0$& Tipo parabola &${\rm rk}A = n-1$ \\
&&\\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
\bigskip

\vbox{\center{\Large QUADRICHE NELLO SPAZIO}}

\bigskip


\begin{tabular}{| l | l | l|}
\hline
 & & \\
\hline
& &${\rm det}A > 0$\\
$x^2 +y^2 +z^2 -1 =0$& Ellissoide &${\rm rk}\widetilde A=4 $, 
${\rm det}\widetilde A<0 $ \\
$x^2 +y^2 +z^2 +1 =0$ &Ellissoide immaginario&${\rm rk}\widetilde A=4 $,
${\rm det}\widetilde A>0 $ \\
& ({\pic vuoto})& \\
$x^2 +y^2 +z^2 =0$&Ellissoide degenere &${\rm rk}\widetilde A=3 $, 
${\rm det}\widetilde A=0 $  \\
& ({\pic un punto})& \\
\hline 
& &${\rm det}A <0$\\
$x^2 +y^2 -z^2 -1=0$ &Iperboloide iperbolico& ${\rm rk}\widetilde A=4 $, 
${\rm det}\widetilde A>0 $ \\
& ad una falda&\\
$x^2 +y^2 -z^2 +1=0$&Iperboloide ellittico&${\rm rk}\widetilde A=4 $, 
${\rm det}\widetilde A<0 $  \\
& a due falde& \\
$x^2 +y^2 -z^2 =0$& Iperboloide degenere&${\rm rk}\widetilde A=3 $, 
${\rm det}\widetilde A=0 $ \\
&  ({\pic doppio cono})& \\
\hline
& &${\rm det}A =0$, ${\rm rk}\widetilde A=4 $\\
$x^2+y^2 -z =0$&Paraboloide ellittico& ${\rm rk}A =2$\\
& &${\rm det}\widetilde A<0 $ \\
$x^2 -y^2 -z=0$& Paraboloide iperbolico & ${\rm rk}A =2$ \\
&({\pic sella}) &${\rm det}\widetilde A>0 $ \\
\hline
& &${\rm det}A =0$, ${\rm rk}\widetilde A=3 $\\

$x^2-y =0$& Paraboloide degenere&${\rm rk}A =1$\\
&({\pic cilindro parabolico)} &\\

$x^2\pm y^2 \pm 1 =0$& Cilindri su coniche non&${\rm rk}A =2$\\
 &degeneri con centro,  &\\
&eventualmente il vuoto&\\
\hline
& &${\rm det}A =0$, ${\rm rk}\widetilde A=2 $\\
$x^2\pm 1=0$&Vuoto o piani paralleli&${\rm rk}A =1$\\
$x^2\pm y^2 =0$&Retta o piani incidenti&${\rm rk}A =2$\\
\hline
& &${\rm det}A =0$, ${\rm rk}\widetilde A=1$\\
$x^2=0$&Piano``doppio'' &${\rm rk}A =1$\\
\hline 
\end{tabular}


\bigskip












\end{document}
