Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche

P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 2 ottobre 2003 al 9 ottobre 2003

Programma e materiale relativo al corso essere reperito in rete selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

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ESERCIZIO n. 1 Si verifichino le seguenti identità:

$(x+y)^2=x^2+y^2 +2xy,  x^2- y^2=(x-y)(x+y),$

$x^3 -y^3= (x-y)(x^2+xy +y^2),  x^3 +y^3= (x+y)(x^2-xy +y^2)$

$\frac x{x-2}= 1 + \frac 2{x-2},  \frac {x^3- 8}{x^2-1} = x +\frac { x-8}{x^2-1}$

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DEFINIZIONE: dato $y\in {\bf R}$ si dice che $x\in {\bf R}$ è la sua radice quadrata se:

1) $x\geq 0$,

2) $x^2=y$. Si scrive $x=\sqrt{y}$.

TEOREMA: Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata.

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ESERCIZIO n. 2 Si provi che :

- un numero reale negativo non ha radice quadrata;

- il numero $\sqrt 2$ non è razionale (rapporto di numeri interi).

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ESERCIZIO n. 3 - Dati $a,  b, c$, con $a>0$, si trovino in dipendenza i tre numeri dati altri tre numeri $\alpha ,  \beta , \gamma$ per cui:

$ax^2+ bx +c = (\alpha x +\beta )^2 + \gamma$

- Si tovi una formula risolutiva per le soluzioni reali dell'equazione $ax^2 +bx +x=0$, e si dica quando ha senso.

- Si verifichi che se $x^2 +sx +p=0$ allora $s$ è `meno la somma delle soluzioni' e p `il prodotto delle soluzioni'.

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ESERCIZIO n. 4 Si disegnino i sottoinsiemi di ${\bf R}$ dati da

$\{ x\in{\bf R} :  x^2 +3x -10>0\}, \{ x\in{\bf R} :  \frac {x^3 +27x}{x-10}>0\},  \{ x\in{\bf R} : \sqrt{ 3x+1} -\sqrt{ 2x+3}>0\}$

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ESERCIZIO n. 5 Quali dei seguenti insiemi sono limitati?

$\{ x\in{\bf R} :  x>1\},  \{ x\in{\bf R} :  0> x >1\},  \{ x\in{\bf R} :  2> x >1\}, \{ x\in{\bf R} : x^2+14=0\}$

$\{ x\in{\bf R} : x^7 +x^3 =x^2 \},  \{ x\in{\bf R} :  2> \frac {x-1}{x-2} >1\},  \{ x\in{\bf R} :  2> \frac {x^3-1}{x^2-2} >1 \},$

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ESERCIZIO n. 6 Trovare estremo superiore ed inferiore degli insiemi e dire se sono rispettivamente massiomo e minimo:

$\{ z\in {\bf R}: z= \frac {xy}{x^2+y^2} : 0< x, y<1\},  \{ z\in {\bf R}: z= \frac {xy}{x+y} : 0< x, y<1\},$

$\{ z\in {\bf R}: z= \frac {nm}{n^2+m^2} : n, m =1,  2 ...\},  \{ z\in {\bf R}: z= \frac {nm}{n+m} : n, m =1,  2 ...\},$

$\{ z\in {\bf R}: z= \frac {m-2}{3n} : n, m =1,  2 ...\}, \{ z\in {\bf R}:  z= \frac{1}{n} + (2m+1) \frac{\pi}2 : n,m = 1, 2 \dots \},$

$\{x \in {\bf R} :  \vert x^2+1\vert<\vert x-3\vert -1\},  \{ x \in {\bf R} :  \vert x^2\vert<\left\vert x-\frac{3}x \right\vert -1\},$

$\{ x \in {\bf R} :  \vert x^2-1\vert<\vert x+3\vert -2\},  \{ x \in {\bf R}:  : 4> \vert 1-x\vert\vert 1+x\vert +(1-x)^2\}$

$\{ x \in {\bf R} :  x^2 + \vert x-1\vert < 2 \}\cap {\bf Q}$

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ESERCIZIO n. 7 - Dati $a_1\not= a_2$ trovare il più grande $y$ per cui $\vert x-a_1\vert + \vert x-a_2\vert \geq y$ per ogni $x\in {\bf R}$ (per ogni punto la somma delle distanze dai punti dati sia più grande di $y$).

*- Si generalizzi se sono dati $n$ punti diversi $a_1,  a_2 , \dots a_n$.

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ESERCIZIO n. 8 - Si provi per induzione: $1+2+\dots +n = \frac {n(n+1)}2$

- Si provi $1+ x +\dots x^{n-1} = \frac {1-x^{n}}{1-x},$ e quindi generalizzando la prima parte dell' esercizio

n. 1 si mostri che : $x^n -y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + ...+ x^{n-k-1}y^k + ...+ y^{n-1})$.  

( Che dire su $x^n+y^n$?)

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 - Si provi per induzione $(1+x)^n \geq 1+nx \hbox{\rm se }  x\geq 0$

- Si provi che vale anche se $x> -1$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10 Si provi per induzione:

$1+ 2x +3 x^2 +\dots n x^{n-1}= \frac {1-(n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2},$ $(1+x)(1+x^2) \dots (1+x^{2^n}) = \frac { 1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$

$n!\le n^n\le \frac {(2n)!}{n!}.$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Dato $x\in {\bf R}$ si definisce parte intera di $x$ l'unico numero $n$ intero $x-1< n\le x$. Se $c_0 =[x]$, $c_n =[ 10^n (x-c_0) - 10^{n-1} c_1 \dots -10 c_{n-1}]$ allora $x=c_0, c_1 c_2 c_3 \dots$.

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ESERCIZIO n. 12 - Si provi che $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}2$, se $x, y \geq 0$ e se ne dia un'interpretazione geometrica.

- Si consideri la seguente proprietà $D_n$:

comunque siano dati $n$ numeri non negativi si ha ${\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}} \le \frac {x_1 +\dots x_{n}}{ n}$.

- Si provi che se vale $D_n$ vale $D_{2n}$.

- Si provi che se vale $D_{n+1}$ vale $D_n$. Si deduca che per ogni $n$ vale $D_n$.

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ESERCIZIO n. 13 * - Si usi la proprietà provata nel precedente esercizio per mostrare che $\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}\geq \left(1+\frac xn\right)^n$ (se $n>1-x$), 

$\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n}\geq \left(1+\frac 1{n+2}\right)^{n+1}$,  $\sqrt[n]{n}\geq \sqrt[n+1]{n+1}$ (se $n\geq 4$).