Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 2 ottobre 2003 al 9 ottobre 2003

Programma e materiale relativo al corso essere reperito in rete selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 1 Si verifichino le seguenti identità:

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy, x^{2} − y^{2} = (x − y)(x + y),

x^{3} − y^{3} = (x − y)(x^{2} + xy + y^{2}), x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} − xy + y^{2})

\frac{x}{x−2} = 1 + \frac{2}{x−2}, \frac{x^{3}−8}{x^{2}−1} = x + \frac{x−8}{x^{2}−1} ————————————————————————————————————————–

DEFINIZIONE: dato y ∈ R si dice che x ∈ R è la sua radice quadrata se:

1) x ≥ 0,

2) x^{2} = y. Si scrive x = \sqrt{y}. TEOREMA: Ogni numero reale non negativo ha un’unica radice quadrata. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 2 Si provi che :

- un numero reale negativo non ha radice quadrata;

- il numero \sqrt{2} non è razionale (rapporto di numeri interi). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 - Dati a, b, c, con a > 0, si trovino in dipendenza i tre numeri dati altri tre numeri α, β, γ per cui:

ax^{2} + bx + c = (αx + β)^{2} + γ

- Si tovi una formula risolutiva per le soluzioni reali dell’equazione ax^{2} + bx + x = 0, e si dica quando ha senso.

- Si verifichi che se x^{2} + sx + p = 0 allora s è ‘meno la somma delle soluzioni’ e p ‘il prodotto delle soluzioni’. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 Si disegnino i sottoinsiemi di R dati da

\{x ∈ R : x^{2} + 3x − 10 > 0\}, \{x ∈ R : \frac{x^{3}+27x}{x−10} > 0\}, \{x ∈ R : \sqrt{3x + 1} − \sqrt{2x + 3} > 0\} ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Quali dei seguenti insiemi sono limitati?

{x ∈ R : x > 1}, {x ∈ R : 0 > x > 1}, {x ∈ R : 2 > x > 1}, {x ∈ R : x^{2} + 14 = 0} \{x ∈ R : x^{7} + x^{3} = x^{2} \}, \{x ∈ R : 2 > \frac{x−1}{x−2} > 1\}, \{x ∈ R : 2 > \frac{x^{3}−1}{x^{2}−2} > 1\},

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Trovare estremo superiore ed inferiore degli insiemi e dire se sono rispettivamente massiomo e minimo:

\{z ∈ R : z = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} : 0 < x, y < 1\}, \{z ∈ R : z = \frac{xy}{x+y} : 0 < x, y < 1\},

\{z ∈ R : z = \frac{nm}{n^{2}+m^{2}} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{nm}{n+m} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{m−2}{3n} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{1}{n} + (2m + 1)\frac{π}{2} : n, m = 1, 2 …\}, \{x ∈ R : |x^{2} + 1| < |x − 3| − 1\}, \{x ∈ R : |x^{2}| < |x − \frac{3}{x} | − 1\}, {x ∈ R : |x^{2} − 1| < |x + 3| − 2}, {x ∈ R : : 4 > |1 − x||1 + x| + (1 − x)^{2}} {x ∈ R : x^{2} + |x − 1| < 2} ∩ Q

————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 7 - Dati a_{1} ≠ a_{2} trovare il più grande y per cui |x − a_{1}| + |x − a_{2}| ≥ y per ogni x ∈ R (per ogni punto la somma delle distanze dai punti dati sia più grande di y).

*- Si generalizzi se sono dati n punti diversi a_{1}, a_{2}, … a_{n}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 8 - Si provi per induzione: 1 + 2 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}

- Si provi 1 + x + … x^{n−1} = \frac{1−x^{n}}{1−x} , e quindi generalizzando la prima parte dell’ esercizio n. 1 si mostri che : x^{n} − y^{n} = (x − y)(x^{n−1} + x^{n−2}y + ... + x^{n−k−1}y^{k} + ... + y^{n−1}). ( Che dire su x^{n} + y^{n}?)

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 - Si provi per induzione (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx se x ≥ 0

- Si provi che vale anche se x > −1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Si provi per induzione:

1 + 2x + 3x^{2} + … nx^{n−1} = \frac{1−(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1−x)^{2}} , (1 + x)(1 + x^{2}) … (1 + x^{2^{n}}) = \frac{1−x^{2^{n+1}}}{1−x} n! ≤ n^{n} ≤ \frac{(2n)!}{n!}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Dato x ∈ R si definisce parte intera di x l’unico numero n intero x − 1 < n ≤ x. Se c_{0} = [x], c_{n} = [10^{n}(x − c_{0}) − 10^{n−1}c_{1} … − 10c_{n−1}] allora x = c_{0}, c_{1}c_{2}c_{3} . . .. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 12 - Si provi che \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2}, se x, y ≥ 0 e se ne dia un’interpretazione geometrica.

- Si consideri la seguente proprietà D_{n}:

comunque siano dati n numeri non negativi si ha \sqrt[n]{x_{1} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1}+...x_{n}}{n}.

- Si provi che se vale D_{n} vale D_{2n}.

- Si provi che se vale D_{n+1} vale D_{n}. Si deduca che per ogni n vale D_{n}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 13 * - Si usi la proprietà provata nel precedente esercizio per mostrare che (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1} ≥ (1 + \frac{x}{n})^{n} (se n > 1 − x),

(1 + \frac{1}{n+1})^{n} ≥ (1 + \frac{1}{n+2})^{n+1}, ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} (se n ≥ 4).