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\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2003-2004, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}

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\centerline{I foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 2 ottobre 2003 al  9 ottobre 2003}
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\noindent Programma e materiale relativo al corso 
 essere reperito in rete 
 selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

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ESERCIZIO n. 1  Si verifichino le seguenti  identit\`a:
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$(x+y)^2=x^2+y^2 +2xy,~ x^2- y^2=(x-y)(x+y),~ $

$x^3 -y^3= (x-y)(x^2+xy +y^2),~ 
x^3 +y^3= (x+y)(x^2-xy +y^2)$

$\frac x{x-2}= 1 + \frac 2{x-2},~ 
\frac {x^3- 8}{x^2-1} = x +\frac { x-8}{x^2-1}$
 

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\noindent DEFINIZIONE: dato $y\in {\bf R}$ si dice che $x\in {\bf R}$ \`e la sua 
{\it radice quadrata} se: 

1) $x\geq 0$, 

2) $x^2=y$. Si scrive $x=\sqrt{y}$.

\noindent TEOREMA: Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata.

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ESERCIZIO n. 2 Si provi che :

- un numero reale negativo non ha radice quadrata;

- il numero $\sqrt 2$ non \`e razionale (rapporto di numeri interi).  


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ESERCIZIO n. 3 - Dati $a,~ b, ~c$, con $a>0$, si trovino in dipendenza 
i tre numeri dati altri tre numeri $\alpha ,~ \beta ,~\gamma$ per cui:
\medskip

$ ax^2+ bx +c = (\alpha x +\beta )^2 + \gamma$
\medskip

- Si tovi una formula risolutiva per le soluzioni {\it reali} dell'equazione 
$ax^2 +bx +x=0$, e si dica quando ha senso.

- Si verifichi che se $x^2 +sx +p=0$ allora $s$ \`e `meno la somma delle 
soluzioni' e p `il prodotto delle soluzioni'.


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ESERCIZIO n. 4  Si disegnino i sottoinsiemi di ${\bf R}$ dati da
\medskip

$\{ x\in{\bf R} : ~ x^2 +3x -10>0\},~\{ x\in{\bf R} : ~ 
\frac {x^3 +27x}{x-10}>0\},~ \{ x\in{\bf R} : ~\sqrt{ 3x+1} -\sqrt{ 2x+3}>0\}$



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ESERCIZIO n. 5  Quali dei seguenti insiemi sono limitati?
\medskip

$\{ x\in{\bf R} :~ x>1\}, ~ \{ x\in{\bf R} :~ 0> x >1\}, ~
 \{ x\in{\bf R} :~ 2> x >1\}, ~\{ x\in{\bf R} :~x^2+14=0\}$

$\{ x\in{\bf R} : x^7 +x^3 =x^2~\},~
 \{ x\in{\bf R} :~ 2> \frac {x-1}{x-2} >1\}, ~
\{ x\in{\bf R} : ~ 2> \frac {x^3-1}{x^2-2} >1 \},~ 
$



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ESERCIZIO n. 6 Trovare estremo superiore ed 
inferiore degli insiemi e dire se sono rispettivamente 
massiomo e minimo:
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$\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {xy}{x^2+y^2} :~0< x,~y<1\},~ 
\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {xy}{x+y} :~0< x,~y<1\},~$

$\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {nm}{n^2+m^2} :~n,~m =1,~ 2 ...\},~
\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {nm}{n+m} :~n,~m =1,~ 2 ...\},~$

$\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {m-2}{3n} :~n,~m =1,~ 2 ...\}, 
\{ z\in {\bf R}:~ z= \frac{1}{n} + (2m+1)
\frac{\pi}2 : n,m = 1,~2 \dots  \},$


$ \{x \in {\bf R} :~ |x^2+1|<|x-3| -1\},~
 \{ x \in  {\bf R} :~
|x^2|<\left|x-\frac{3}x \right| -1\},$

$\{ x \in {\bf R} :~ |x^2-1|<|x+3| -2\}, ~
  \{ x \in {\bf R}:~ : 4> |1-x||1+x| +(1-x)^2\}$

$\{ x \in {\bf R} :~ x^2 + |x-1| < 2  \}\cap {\bf Q}$


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ESERCIZIO n. 7 - Dati $a_1\not= a_2 $ trovare il pi\`u grande $y$ per cui
 $\vert x-a_1\vert + \vert x-a_2\vert \geq y$ per ogni $x\in {\bf R}$ 
(per ogni punto la somma delle distanze dai punti dati sia pi\`u grande di $y$).
\medskip

{\bf *}- Si generalizzi se sono dati $n$ punti diversi $a_1, ~ a_2 , \dots a_n$.





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ESERCIZIO n. 8 - Si provi per induzione: $1+2+\dots +n = \frac {n(n+1)}2$


- Si provi  $1+ x +\dots x^{n-1} = \frac {1-x^{n}}{1-x},$ e quindi 
generalizzando la prima parte dell' esercizio 

n. 1  
si mostri che : $x^n -y^n 
= (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + ...+ x^{n-k-1}y^k + ...+ y^{n-1})$.~~

( Che dire su $x^n+y^n$?) 


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ESERCIZIO n. 9 - Si provi per induzione
 $ (1+x)^n \geq 1+nx ~\hbox{\rm se }~ x\geq 0$

- Si provi che vale anche se $x> -1$.

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ESERCIZIO n. 10  Si provi per induzione: 

$1+ 2x +3 x^2 +\dots n x^{n-1}= \frac {1-(n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}, $ 
$(1+x)(1+x^2) \dots (1+x^{2^n}) = \frac { 1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$

$n!\le n^n\le \frac {(2n)!}{n!}. $







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ESERCIZIO n. 11 Dato $x\in {\bf R}$ si definisce {\it parte intera} di 
$x$ l'unico numero $n$ intero  $x-1< n\le x$. Se $c_0 =[x]$, $c_n 
=[ 10^n (x-c_0) - 10^{n-1} c_1 \dots -10 c_{n-1}]$ allora 
$x=c_0, c_1 c_2 c_3 \dots$. 



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ESERCIZIO n. 12 - Si provi che $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}2$, se $x, ~y \geq 0$  
e se ne dia un'interpretazione geometrica.

- Si consideri la seguente propriet\`a $D_n$:

 {\it  comunque siano dati $n$ numeri non negativi si ha  ${\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}}
\le \frac {x_1 +\dots x_{n}}{ n}$.}

- Si provi che se vale $D_n$ vale $D_{2n}$.

- Si provi che se vale $D_{n+1}$ vale $D_n$. 
Si deduca che per ogni $n$ vale $D_n$.




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ESERCIZIO n. 13 {\bf *} - Si usi la propriet\`a provata nel precedente esercizio 
per mostrare che 
$\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac xn\right)^n $ (se $n>1-x$),~
% n+1+x= n (n+x)/n +1  

$\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n}\geq 
\left(1+\frac 1{n+2}\right)^{n+1} $,~ 
$\sqrt[n]{n}\geq \sqrt[n+1]{n+1}$ (se $n\geq 4$).




\end{document}
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ESERCIZIO n. 16
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proprieta di archimede

densita

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ESERCIZIO n. 17
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sottogruppi di R e generatore 

razionalita e sottogruppi

definizione di pi greco

irrazionalita pi greco




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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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\end{document}






