Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 14 ottobre 2003 al 16 ottobre 2003

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ESERCIZIO n. 1 a- Traslando il grafico di x ↦ x^{2} con uno spostamento di (4, 0) di quale funzione si ottiene il grafico?

b- Traslando il grafico di x ↦ x^{3} con uno spostamento di (−1, 0) di quale funzione si ottiene il grafico?

c- Traslando il grafico di x ↦ |x| con uno spostamento di (−1, 2) di quale funzione si ottiene il grafico?

d- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ (x − 1)^{2} + sin(x − \sqrt{3}) di che funzione è grafico?

e- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ x^{3} −6x−cos x di che funzione è grafico?

f- Il simmetrico del grafico di x ↦ (x − 2)^{3} + 1 rispetto alla bisettrice degli assi di che funzione è grafico?

g- Che dire della stessa simmetria per il grafico di x ↦ x^{2}?

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ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni: a- x ↦ |x|, x ↦ x^{2}, x ↦ x^{3} x ↦ x^{5}, x ↦ x^{4}, x ↦ |x|^{7}; b- x ↦ \sqrt{x}, x ↦ ^{3} \sqrt{x}, x ↦ ^{4} \sqrt{|x|}; c- x ↦ ^{15} \sqrt{x + 5} − 3, x ↦ −\sqrt{2 − x}, x ↦ ^{3} \sqrt{3x − 3}.

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ESERCIZIO n. 3 Mostrare con metodi elementari che il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è dato dall’area del triangolo diviso metà della lunghezza del perimetro dello stesso. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 Trovare le coordinate del baricentro (definito come punto di incontro delle mediane) di un triangolo conoscendo le coordinate dei suoi tre vertici. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Si scrivano le rette tangenti al cerchio {(x, y) ∈ R^{2} : (x−5)^{2}+(y−3)^{2} = 4} e passanti per l’origine. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 6 Trovare l’estermo superiore dei coefficienti angolari delle rette passanti per l’origine che intersecano la regione del piano \{(x, y) : (3x − y)(x − \frac{y}{2}) = 1\}. ————————————————————————————————————————–

FORMULARIO

sin^{2} α + cos^{2} α = 1,

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,

Per 0 < α < \frac{π}{2}: sin α < α, cos α ≤ \frac{sin α}{α} ≤ 1,

sin α cos β = \frac{sin(α+β)+sin(α−β)}{2}, sin α sin β = \frac{− cos(α+β)+cos(α−β)}{2}, cos α cos β = \frac{cos(α+β)+cos(α−β)}{2}, sin α + sin β = 2 sin (\frac{α+β}{2} ) cos (\frac{α−β}{2} ) , cos α + cos β = 2 cos (\frac{α+β}{2} ) cos (\frac{α−β}{2} )

cos α − cos β = −2 sin (\frac{α+β}{2} ) sin (\frac{α−β}{2} ) sin α − sin β = 2 sin (\frac{α+β}{2} ) sin (\frac{α−β}{2} )

cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1+cos x}{2}, sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1−cos x}{2}

tan α = \frac{sin α}{cos α}, cot α = \frac{cos α}{sin α} arcsin x = α, x ∈ [−1, 1] ⇔ sin α = x α ∈ [−π/2, π/2], arccos x = α, x ∈ [−1, 1] ⇔ cos α = x α ∈ [0, π], arctan x = α, x ∈ (−∞, ∞) ⇔ tan α = x α ∈ [−π/2, π/2], sin x = sin x_{0} ⇔ x = x_{0} + 2kπ, π − x_{0} + 2kπ, cos x = cos x_{0} ⇔ x = ±x_{0} + 2kπ, tan x = tan x_{0} ⇔ x = x_{0} + kπ.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Calcolare cos \frac{π}{12}, sin \frac{5π}{12} , sin \frac{7π}{8}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Verificare le seguenti relazioni ed interpretarle geometricamente:

cos(x + π) = cos(x − π) = − cos x, sin(x + π) = sin(x − π) = − sin x;

cos(x + \frac{π}{2}) = − sin x, sin(x + \frac{π}{2}) = cos x, | sin x| ≤ |x| ≤ | tan x| (se |x| ≤ \frac{π}{2}

| cos x − cos y| ≤ |x − y|, | sin x − sin y| ≤ |x − y|. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Trovare l’intersezione A ⋂ B dove

A = \{x ∈ R : x^{4} + |x − 3| = sin (x\frac{π}{2} )\} e B = \{x ∈ R : |x| ≤ 2\}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Risolvere le seguenti equazioni: 3 sin x−\sqrt{3} cos x = 0, sin x+3| sin x| = 2, − cos^{6} x + sin^{3} x cos^{3} x + sin^{6} x = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Trovare tutti gli x per cui rispettivamente: sin x < \frac{1}{2}, 4 sin x tan x > \frac{3}{cos x}, \frac{1+cos^{2} x}{1+sin x} > 2. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Calcolare l’estremo superiore ed inferiore dell’insieme:

\{sin \frac{n−1}{2n}π : n ∈ N \}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 13 Disegnare i grafici delle funzioni: x ↦ − sin x, x ↦ sin 3x, x ↦ cos \frac{x}{2}, x ↦ 3 sin x, x ↦ tan(x − \frac{π}{2}), x ↦ | sin x|, x ↦ sin^{2} x. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 14 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo: x ↦ sin(π^{2}−πx), x ↦ | sin x|+| cos x|, x ↦ sin(x^{2}), x ↦ 3 sin^{2} x+sin \frac{x}{2}, x ↦ sin^{5} x+3 cos^{7} 2x+1. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 15 Mostrare che \frac{1}{2} + cos x = \frac{sin \frac{3}{2} x}{2 sin(x/2)}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 16 Provare le seguenti formule: sin x = \frac{2 tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} , cos x = \frac{1−tan^{2} \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} ,