Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche

P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli

dal 21 ottobre 2003 al 23 ottobre 2003

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ESERCIZIO n. 1 Dimostrare che il sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} ax+by+c=0 \ a'x+b'y+c'=0 \end{array} \right.$$

è risolubile univocamente se e solo se risulta $ab'-ba'\neq 0$; in tal caso se ne scriva la soluzione $(x,y)$.

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ESERCIZIO n. 2 Determinare la retta passante per $(2,-1)$ e perpendicolare alla retta di equazione $4x-3y+12=0$.

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ESERCIZIO n. 3 Determinare la retta passante per $(0,0)$ e per il centro della circonferenza di equazione $x^2+y^2-2x+y=0$.

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ESERCIZIO n. 4 Si calcoli la distanza del punto $(-3,2)$ dalla retta di equazione $4x-3y+12=0$.

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ESERCIZIO n. 5 Si suddivida il segmento di estremi $(1,2)$ e $(2,1)$ in quattro parti di egual lunghezza mediante i tre punti $P,Q,R$. Si calcolino le coordinate di tali punti.

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ESERCIZIO n. 6 Dati $P=(-2,5)$ e $Q=(4,13)$, trovare le coordinate di un punto $R$ sul segmento $PQ$ tale che $\vert P-R\vert=2 \vert Q-R\vert$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 Sia $R=(2,3)$ il punto medio del segmento $PQ$, ove $P=(7,5)$. Determinare le coordinate di $Q$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Dimostrare che per ogni $P,Q \in {\bf R}^2$ si ha

$$\vert P-Q\vert^2 = \vert P\vert^2 + \vert Q\vert^2 - 2 P\bullet Q .$$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Provare che il triangolo di vertici $(2,-1)$, $(4,2)$ e $(5,1)$ è isoscele.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10 Provare che il triangolo di vertici $(-3,3)$, $(-1,3)$ e $(11,-1)$ è rettangolo.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto $A$ relativa al triangolo $ABC$, ove $A=(-1,1)$, $B=(0,-6)$, $C=(-10,-2)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 12 Scrivere l'equazione dell'asse del segmento di estremi $(0,2)$ e $(2,1)$ (l'asse di un segmento è il luogo dei punti che sono equidistanti dai vertici del segmento).

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ESERCIZIO n. 13 Si provi che le rette di equazioni parametriche $X=P+tQ$, $t\in {\bf R}$ e $X=A+sB$, $s\in {\bf R}$ sono fra loro parallele se e solo se esiste $\lambda\in {\bf R}$, non nullo, tale che $Q=\lambda B$.

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ESERCIZIO n. 14 Si provi che le rette di equazioni $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono fra loro parallele se e solo se esiste $\lambda\in {\bf R}$ tale che $a'=\lambda a$ e $b'=\lambda b$.

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ESERCIZIO n. 15 Si provi che le rette di equazioni $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono fra loro perpendicolari se e solo se esiste $\lambda\in {\bf R}$ tale che $\lambda a=-b'$, $\lambda b=a'$.

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ESERCIZIO n. 16 Si provi che le rette di equazioni $X=P+tQ$, $t\in {\bf R}$, e $ax+by+c=0$ sono fra loro perpendicolari se e solo se i vettori $Q$ e $(a,b)$ sono proporzionali, e sono parallele se e solo se i vettori $Q$ e $(b,-a)$ sono proporzionali.

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ESERCIZIO n. 17 Si considerino i luoghi dei punti di ${\bf R}^2$ descritti dalle seguenti equazioni:

$$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)... ...x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0, \end{array}$$

e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:

$$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qq... ... & \qquad \textrm{(f)} & \textrm{una circonferenza.}\end{array}$$

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ESERCIZIO n. 18 Si verifichi che ogni angolo convesso è l'intersezione di due semipiani.

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ESERCIZIO n. 19 Si provi che ogni triangolo in ${\bf R}^2$ è l'intersezione di tre semipiani.

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ESERCIZIO n. 20 Si provi che ogni quadrilatero convesso in ${\bf R}^2$ è l'intersezione di quattro semipiani.

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ESERCIZIO n. 21 Verificare che gli insiemi

$$A=\{(x,y)\in {\bf R}^2: \vert x\vert\le 1, \vert y\vert\le ... ... B=\{(x,y)\in {\bf R}^2: \ \vert x\vert+\vert y\vert\le 1\}$$

sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

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ESERCIZIO n. 22 Siano $a,b\in {\bf R}$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:{\bf R}^2\to {\bf R}^2$, definita da

$$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$

definisce una rotazione del piano (attorno all'origine). Si provi che:

(i)

si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in {\bf R}^2$;

(ii)

posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente;

(iii)

posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in {\bf R}^2$.

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ESERCIZIO n. 23 Siano $a,b\in {\bf R}$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:{\bf R}^2\to {\bf R}^2$, definita da

$$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$

definisce una simmetria del piano (rispetto all'origine). Si provi che:

(i)

si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in {\bf R}^2$;

(ii)

posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente;

(iii)

posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in {\bf R}^2$.

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ESERCIZIO n. 24 Si provi che se $A,B$ sono vettori linearmente indipendenti in ${\bf R}^2$, allora per ogni $P\in {\bf R}^2$ esiste un'unica coppia di numeri reali $\lambda, \mu$ tali che $P=\lambda A + \mu B$.