Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli dal 21 ottobre 2003 al 23 ottobre 2003

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ESERCIZIO n. 1 Dimostrare che il sistema

\{ \begin{matrix}ax + by + c = 0 \\ a′x + b′y + c′ = 0 \end{matrix}

è risolubile univocamente se e solo se risulta ab′ − ba′ ≠ 0; in tal caso se ne scriva la soluzione (x, y).

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ESERCIZIO n. 2 Determinare la retta passante per (2, −1) e perpendicolare alla retta di equazione 4x − 3y + 12 = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 Determinare la retta passante per (0, 0) e per il centro della circonferenza di equazione x^{2} + y^{2} − 2x + y = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 Si calcoli la distanza del punto (−3, 2) dalla retta di equazione 4x−3y+12 = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Si suddivida il segmento di estremi (1, 2) e (2, 1) in quattro parti di egual lunghezza mediante i tre punti P, Q, R. Si calcolino le coordinate di tali punti. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 6 Dati P = (−2, 5) e Q = (4, 13), trovare le coordinate di un punto R sul segmento P Q tale che |P − R| = 2 |Q − R|. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Sia R = (2, 3) il punto medio del segmento P Q, ove P = (7, 5). Determinare le coordinate di Q. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Dimostrare che per ogni P, Q ∈ R^{2} si ha

|P − Q|^{2} = |P |^{2} + |Q|^{2} − 2 P • Q .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Provare che il triangolo di vertici (2, −1), (4, 2) e (5, 1) è isoscele. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Provare che il triangolo di vertici (−3, 3), (−1, 3) e (11, −1) è rettangolo.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto A relativa al triangolo ABC, ove A = (−1, 1), B = (0, −6), C = (−10, −2). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi (0, 2) e (2, 1) (l’asse di un segmento è il luogo dei punti che sono equidistanti dai vertici del segmento). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 13 Si provi che le rette di equazioni parametriche X = P + tQ, t ∈ R e X = A + sB, s ∈ R sono fra loro parallele se e solo se esiste λ ∈ R, non nullo, tale che Q = λB. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 14 Si provi che le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono fra loro parallele se e solo se esiste λ ∈ R tale che a′ = λa e b′ = λb. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 15 Si provi che le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono fra loro perpendicolari se e solo se esiste λ ∈ R tale che λa = −b′, λb = a′. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 16 Si provi che le rette di equazioni X = P + tQ, t ∈ R, e ax + by + c = 0 sono fra loro perpendicolari se e solo se i vettori Q e (a, b) sono proporzionali, e sono parallele se e solo se i vettori Q e (b, −a) sono proporzionali. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 17 Si considerino i luoghi dei punti di R^{2} descritti dalle seguenti equazioni:

(i) x^{2} + y^{2} − 1 = 0, (v) x^{2} + y^{2} + xy = 0,
(ii) x^{2} + y^{2} = 0,  (vi) x^{2} − y^{2} = 0,
(iii) x^{2} + y^{2} + 1 = 0, (vii) x^{2} + y^{2} + 2x + 2y + 2 = 0,
(iv) x^{2} + y^{2} + 2xy = 0, (viii) (x^{2} − 1)^{2} + y^{2} = 0,

e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:

(a) nessun punto,  (d) una retta,
(b) un punto,  (e) due rette,
(c) due punti,  (f) una circonferenza.

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ESERCIZIO n. 18 Si verifichi che ogni angolo convesso è l’intersezione di due semipiani. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 19 Si provi che ogni triangolo in R^{2} è l’intersezione di tre semipiani. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 20 Si provi che ogni quadrilatero convesso in R^{2} è l’intersezione di quattro semipiani. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 Verificare che gli insiemi

A = {(x, y) ∈ R^{2} : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R^{2} : |x| + |y| ≤ 1}

sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione R : R^{2} → R^{2}, definita da

R(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = −bx + ay,

definisce una rotazione del piano (attorno all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2}; (ii) posto U = R(1, 0), V = R(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di

coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente; (iii) posto (ξ′, η′) = R(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni

(x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 23 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione S : R^{2} → R^{2}, definita da

S(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = bx − ay,

definisce una simmetria del piano (rispetto all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2}; (ii) posto U = S(1, 0), V = S(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di

coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente; (iii) posto (ξ′, η′) = S(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni

(x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 24 Si provi che se A, B sono vettori linearmente indipendenti in R^{2}, allora per ogni P ∈ R^{2} esiste un’unica coppia di numeri reali λ, μ tali che P = λA + μB.