\documentstyle [12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2003-2004, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}

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\centerline{III foglio di esercizi: P.Acquistapace,  V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 21 ottobre 2003 al  23 ottobre 2003}
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\noindent Programma e materiale relativo al corso 
 essere reperito in rete 
 selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
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ESERCIZIO n. 1   Dimostrare che il sistema 
$$\left\{ \begin{array}{l} ax+by+c=0 \\ a'x+b'y+c'=0 \end{array} \right. $$
\`e risolubile univocamente se e solo se risulta $ab'-ba'\neq 0$; in tal caso
se ne scriva la soluzione $(x,y)$.

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ESERCIZIO n. 2  Determinare la retta passante per $(2,-1)$ e perpendicolare alla retta
di equazione $4x-3y+12=0$.


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ESERCIZIO n. 3   Determinare la retta passante per $(0,0)$ e per il centro
della circonferenza di equazione $x^2+y^2-2x+y=0$.

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ESERCIZIO n. 4 Si calcoli la distanza del punto $(-3,2)$ dalla retta di equazione
$4x-3y+12=0$.




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ESERCIZIO n. 5 Si suddivida il segmento di estremi $(1,2)$ e $(2,1)$ in quattro parti
di egual lunghezza mediante i tre punti $P,Q,R$. Si calcolino le coordinate
di tali punti.



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ESERCIZIO n. 6  Dati $P=(-2,5)$ e $Q=(4,13)$, trovare le coordinate di un punto $R$
sul segmento $PQ$ tale che $|P-R|=2\ |Q-R|$.





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ESERCIZIO n. 7 Sia $R=(2,3)$ il punto medio del segmento $PQ$, ove $P=(7,5)$.
Determinare le coordinate di $Q$.

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ESERCIZIO n. 8 Dimostrare che per ogni $P,Q \in \R^2$ si ha
$$|P-Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 - 2\ P\bullet Q \ .$$






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ESERCIZIO n. 9 Provare che il triangolo di vertici $(2,-1)$, $(4,2)$ e $(5,1)$ \`e
isoscele.

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ESERCIZIO n. 10 Provare che il triangolo di vertici $(-3,3)$, $(-1,3)$ e $(11,-1)$ \`e
rettangolo.

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ESERCIZIO n. 11  Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto $A$ relativa al
triangolo $ABC$, ove $A=(-1,1)$, $B=(0,-6)$, $C=(-10,-2)$.

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ESERCIZIO n. 12 Scrivere l'equazione dell'asse del segmento di estremi $(0,2)$ e
$(2,1)$ (l'asse di un segmento \`e il luogo dei punti che sono
equidistanti dai vertici del segmento).



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ESERCIZIO n. 13 Si provi che le rette di equazioni parametriche $X=P+tQ$, $t\in \R$ e
$X=A+sB$, $s\in \R$ sono fra loro parallele se e solo se esiste 
$\lambda\in \R$, non nullo,  tale che $Q=\lambda B$.




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ESERCIZIO n. 14 Si provi che le rette di equazioni $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono
fra loro parallele se e solo se esiste $\lambda \in \R$ tale che 
$a'=\lambda a$ e $b'=\lambda b$.




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ESERCIZIO n. 15 Si provi che le rette di equazioni $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono
fra loro perpendicolari se e solo se esiste $\lambda\in \R$ tale che 
$\lambda a=-b'$, $\lambda b=a'$.



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ESERCIZIO n. 16  Si provi che le rette di equazioni $X=P+tQ$, $t\in \R$, e $ax+by+c=0$
sono fra loro perpendicolari se e solo se i vettori $Q$ e $(a,b)$ sono
proporzionali, e sono parallele se e solo se i vettori $Q$ e $(b,-a)$ sono
proporzionali.






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ESERCIZIO n. 17 Si considerino i luoghi dei punti di $\R^2$ descritti dalle
seguenti equazioni:
$$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)} &
x^2+y^2+xy=0,\\
\textrm{(ii)} & x^2+y^2=0, & \textrm{(vi)} & x^2-y^2=0,\\
\textrm{(iii)} & x^2+y^2+1=0, & \textrm{(vii)} & x^2+y^2+2x+2y+2=0,\\
\textrm{(iv)} & x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0,
\end{array}$$
e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:
$$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qquad \qquad &
\qquad \textrm{(d)} & \textrm{una retta,}\\
\textrm{(b)} & \textrm{un punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(e)} &
\textrm{due rette,}\\ 
\textrm{(c)} & \textrm{due punti,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(f)} &
\textrm{una circonferenza.}\end{array}$$






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ESERCIZIO n. 18 Si verifichi che ogni angolo convesso \`e l'intersezione di due
semipiani.











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ESERCIZIO n. 19 Si provi che ogni triangolo in $\R^2$ \`e l'intersezione di tre
semipiani.



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ESERCIZIO n. 20 Si provi che ogni quadrilatero convesso in $\R^2$ \`e l'intersezione di
quattro semipiani.


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ESERCIZIO n. 21   Verificare che gli insiemi
$$A=\{(x,y)\in \R^2:\ |x|\le 1,\ |y|\le 1\}, \ \ B=\{(x,y)\in \R^2: \
|x|+|y|\le 1\}$$
sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

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ESERCIZIO n. 22 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$
definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
positivamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. 
\end{description}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 23 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$
definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
negativamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$.
\end{description}

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ESERCIZIO n. 24 Si provi che se $A,B$ sono vettori linearmente indipendenti in $\R^2$,
allora per ogni $P\in \R^2$ esiste un'unica coppia di numeri reali 
$\lambda, \mu$ tali che $P=\lambda A + \mu B$.


\end{document}






