Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche V.M. Tortorelli

IV foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli dal 28 ottobre 2003 al 30 ottobre 2003

Programma e materiale relativo al corso essere reperito in rete selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 1 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano in se:

- simmetria rispetto al punto (1, 2)

- simmetria rispetto alla generica retta passante per l’origine

- simmetria rispetto alla retta passante per (2, 3) e parallela a (3, 4)

- rotazione di un ottavo di ‘angolo giro’ attorno al punto (4, 5) ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 2 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano in se:

- la dilatazione di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2};

- la dilatazione anisotropa di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2} nella direzione (1, 2) e fattore 2 nella direzione (2, 1). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 A che trasformazioni del piano corrsipondono le seguenti funzioni - (x, y) ↦ (−y, x)

- (x, y) ↦ (\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + 1, \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y − 1)

- (x, y) ↦ (x − y, x + y) ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 Date due rette nel piano che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda?

- Scambiando l’ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato? ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente i seguenti luoghi di zeri: x^{2} +y^{2} +2xy = 0, xy = 1, (x−y)^{2} = (x+y)^{2}, x^{2} +y^{2} −6xy −x+4 = 0, xy −23y +8y −1 = 0, 3x^{2} + 2y^{2} − 3xy + x + y − 100 = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 6 Verificare che:

- un ellisse è il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi costante;

- un iperbole è il luogo dei punti con differenza delle distanze da due punti fissi costante;

- una parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa e da un punto fisso. ————————————————————————————————————————– Osservazione: si può verificare dando la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere in un sol punto è ad essa tangente in quel punto. Definizione: Si dice cammino di riflessione rispetto ad una retta per un suo punto l’unione di due semirette (lati) con origine nel punto e simmetriche rispetto all’asse perpendicolare alla retta nel punto.

- Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto è un cammino di riflessione rispetto all’eventuale retta tangente all’insieme dato in questo suo punto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Verificare che:

- i cammini di riflessione rispetto ad una parabola con un lato parallelo all’asse della stessa hanno l’altro che passa per il fuoco della parabola;

- i cammini di riflessione rispetto ad un’elisse che hanno un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l’altro fuoco;

- i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole che hanno un lato passante per un fuoco hanno prolungamento del secondo lato passante per l’altro fuoco. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e non lascia nessun punto fisso del piano è una traslazione.

- Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e lascia un punto del piano fisso è una dilatazione rispetto adun punto.

-Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni che trasformano uno nell’altro?

-Dati quattro punti a ≠ b, α ≠ β mostrare che vi è un’unica traslazione o dilatazione che trasforma a in α e b in β. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari che trasformano x^{2} +y^{2} = 1 in se?

-Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari che trasformano |x| + |y| = 1 in se?

-Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari che trasformano x^{2}+4y^{2}+4xy+x+y+1 = 0 in se? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10^{∗∗} Si identifichi il piano con R^{2}. Le trasformazioni T bigettive del piano che mandano rette in rette sono tutte e sole le trasformazioni affini (T (x, y) − T (0, 0) è lineare) e bigettive. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11^{∗∗} Le trasformazioni del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare è data da matrici con colonne ortogonali di norma 1, che rappresentano rotazioni e riflessioni. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 12 Si trovi la distanza del punto (1, 1, 1) dal piano x + y + z = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 13 Quali regioni dello spazio vengono trasformate in se stesse solamente da tutte rotazioni rispetto ad una retta passante per l’origine?

- Quali regioni dello spazione vengono trasformate in se stesse da tutte le simmetrie rispetto ai piani coordinati?