\documentstyle [12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2003-2004, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{ V.M. Tortorelli}

\bigskip

\centerline{V foglio di esercizi: P.Acquistapace,  V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 5 novembre 2003 al 12 novembre 2003}
\medskip

\noindent Programma e materiale relativo al corso 
 essere reperito in rete 
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Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
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\noindent {\bf Proposizione} Se $P$ \`e un polinomio con coefficienti complessi $P(z_0)=0$ se e solo 
se
 $P(z)=Q(z)(z-z_0)$. Quindi il polinomio ha al pi\`u un numero di radici pari al suo grado.

\noindent {\bf Teorema fondamentale dell'algebra} Ogni polinomio ha almeno una radice complessa.

\noindent {\bf Corollario} Un polinomio ha 
 un numero di radici, con molteplicit\`a,
pari al suo grado.

\noindent {\bf Osservazione} Un polinomio con coefficienti reali ha radici complesse e coniugate.


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ESERCIZIO n. 1  Si scrivano in forma cartesiana ($x+iy$ con $x$ e $y$ in {\bf R}) i 
seguenti numeri complessi: $(\sqrt{2}+ie)(i-23),~ (-4+4i)^6,~
\frac 1i,~\frac{1+i}{\left(\overline{(2+i)^2}\right)},~ 1+i+i^2+i^4+i^6,~\frac 1{x+iy},~
\sqrt{2+2i}$.




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\noindent ESERCIZIO n. 2  Si trovino tutte le soluzioni in {\bf C} delle seguenti equazioni:
  $ z^2+1=0,~ z^6+1=0,~ z^4+1=0, ~ z^2+2z +1=0,~ z^2 +4z +5=0,~ z^2+2i z -1-i=0,~z^2+z+1=0$.

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 \noindent ESERCIZIO n. 3 Si risolvano le seguenti equazioni: $ i\bar z^3=\vert z\vert,~~ 
z^2 +\vert z \vert +1=0,~~ 2z^4 +3z^2=0, ~z\vert z\vert -2{\cal R}\!e z= 0, {\cal I}\!m z^2=1$





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 \noindent ESERCIZIO n. 4  Si determino le regioni del piano definite dalle seguenti formule:
$\vert z -i\vert=2,~ \vert z-1\vert =\vert z-i\vert ,~\vert z-1\vert <\vert z-i\vert ,~ 
\vert z-1\vert +\vert z-i\vert =2,~\vert z-1\vert +\vert z-i\vert =\sqrt 2, ~
{\cal R}\! e z=2{\cal I}\! m z$.


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 \noindent ESERCIZIO n. 5 - Si scrivano in forma trigonometrica i seguenti 
numeri complessi: $4, ~7i,~3+3i,~ \sqrt{3} -i,~ 1-i$. 

-  Si scrivano in forma trigonometrica i numeri complessi  $z$ 
per cui si ripsettivamente : $z= {\cal R}\! e z>0, ~
\vert{\cal R}\! ez\vert < {\cal I}\! m z , ~\vert z\vert \le 1$.


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 \noindent ESERCIZIO n. 6  Trovare le radici seste di $-1$, quadrate di $1+i\sqrt{3}$ e cubiche di $1$.

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\noindent {\bf Notazione} Se $z=x+iy\in {\bf C}$ si indica con $e^z$ il numero 
$e^x(\cos y +i\sin y)$. 

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ESERCIZIO n. 7 Per ogni numero complesso $w\not= 0$ vi \`e un numero complesso
$z$ per cui $w=e^z$. Quante sono le soluzioni di  $w=e^z$?



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\noindent ESERCIZIO n. 8 Il prodotto di due numeri compolessi ha come modulo il prodotto dei moduli 
e come argomento la somma degli argomenti. 
In altri termini, per quanto enunciato nel precedente 
esercizio $e^z e^w = e^{z+w}$.

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ESERCIZIO n. 9 - Si verifichi che le radici $n$-sime di $1$ sono 
$e_h = e^{i 2\pi \frac hn}= \left(e_1\right)^h,~ 0\le h<n$.
 
- Fissati $n$ ed $m$  l'insieme dei $ e^{i 2\pi m \frac hn}, ~ h\in {\bf Z}$ \`e contenuto 
in quello delle radici $n$-sime di $1$. Coincide con esso se e solo se $m$ ed $n$ non hanno 
divisori comuni. In altri termini $\left(e^{i 2\pi m \frac 1n}\right)^h, 0\le h<n $ sono 
le radici $n$-sime di $1$ se e solo se $m$ ed $n$ sono primi fra loro. 


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ESERCIZIO n. 10 L'area del triangolo di veritci $u,~v,~w\in{\bf C}$ \`e data da 
$\frac 12 \left\vert (w-v)\overline{(u-v)}\right\vert$.



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ESERCIZIO n. 11 - Il prodotto scalare tra $(x,y)$ e $(u,v)$ \`e dato da 
  ${\cal R}\!e \left( (x+iy)\overline{(u+iv)}\right)$.

\noindent - Che operazione tra numeri complessi da il determinante della matrice di righe
 $(x,y)$, $(u,v)$?


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 ESERCIZIO n. 12 - Dato $\alpha\in {\bf C}$, trovare la matrice $2\times 2$ (con coefficienti reali)   
corrispondente alla trasformazione di ${\bf R}^2$ che associa alle coordinate di 
$z\in {\bf C}$ quelle di $\alpha z$.

 - {\bf *} Le trasformazioni del piano in se che conservano le distanze 
sono determinate dalle funzioni da ${\bf C}$ in se del tipo $z\mapsto \alpha z +\beta, ~\alpha \bar z +
\beta$ per qualche $\beta\in {\bf C}$ e $\alpha\in {\bf C}, ~\vert \alpha \vert =1$.

- Si esprimano mediante operazioni tra numeri complessi 
 le trasformazioni lineari del piano che conservano l'ampiezza degli angoli tra
 due rette.

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 ESERCIZIO n. 13  - Dati due numeri complessi $\alpha$, $\beta$ e un numero reale $\lambda \geq 0$ 
si descriva, al variare di tali parametri, 
 la regione del piano determinata dagli $z\in {\bf C}$ per cui 
$\vert z -\alpha\vert= \lambda\vert z-\beta \vert$.

- Dati i numeri complessi $\alpha,~ \beta,~ \gamma,~ \delta$ per cui $(\alpha ,\beta)\not= \zeta (\gamma
, \delta)$ (ovvero  $\alpha\delta-\beta\gamma\not= 0$) si mostri che l'inversa della trasformazione 
 $z\mapsto \frac {\alpha z +\beta }{\gamma z +\delta}=w$ \`e dello stesso tipo.

- Si provi che tali trasformazioni mandano una retta o un cerchio indifferentemente in una retta 
o in un cerchio.

%Si consideri la sfera nello spazio di raggio $1$ e centro l'origine. 
%%descritta con
%%$(\cos\varphi \sin\theta, \sin \varphi \sin\theta , \cos\theta )$.
%%, ove $\varphi$ \`e l'angolo 
%%orientato di vertice $(0,0,0)$ che va da $(1,0,0)$ a $(x,y,0)$, 
%%e $\theta$ l'angolo orientato di vertice $(0,0,0)$ che va da $(0,0,1)$ a $(x,y,z)$. 
% La trasformazione $S$ della sfera meno il ``polo nord'' $(0,0,1)$ che associa ad $(x,y,z)$ sulla sfera
%($x^2+y^2+z^2=1$) l'intersezione della retta per i due punti con il piano $z=0$ si dice {\it
%proiezione stereografica}.

%-a Si scrivano le coordinate $(f(x,y), g(x,y), 0)$ di $S(x,y,z)$.

%-b Dato un punto $(x,y,0)$ si scrivano le coordinate  $( a(x,y), b(x,y), c(x,y))$ del punto sulla sfera
%che ha il punto dato come proiezione stereografica.

%-c A che cosa corrisponde una rotazione attorno agli assi coordinati  nello spazio  per i trasformati
%mediante la proiezione stereografica?

%-d Un angolo tra due curve \`e dato dall'angolo tra le due eventuali rette tangenti ad esse (in
%particolare l'angolo tra due cerchi massimi sulla sfera \`e dato dall'angolo tra i piani ove questi
%stanno).
% Si mostri che la proiezione stereografi mantiene gli angoli.

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 ESERCIZIO n. 14 Si consideri la sfera nello spazio di raggio $1$ e centro l'origine.  
%%descritta con
%%$(\cos\varphi \sin\theta, \sin \varphi \sin\theta , \cos\theta )$.
%%, ove $\varphi$ \`e l'angolo 
%%orientato di vertice $(0,0,0)$ che va da $(1,0,0)$ a $(x,y,0)$, 
%%e $\theta$ l'angolo orientato di vertice $(0,0,0)$ che va da $(0,0,1)$ a $(x,y,z)$. 
 La trasformazione $S$ della sfera meno il ``polo nord'' $(0,0,1)$ che associa ad $(x,y,z)$ sulla sfera
 l'intersezione della retta per i due punti con il piano $z=0$ si dice {\it
proiezione stereografica}.

-a Si scrivano le coordinate $(f(x,y), g(x,y), 0)$ di $S(x,y,z)$.
 Dato un punto $(x,y,0)$ si scrivano le coordinate  $( a(x,y), b(x,y), c(x,y))$ del punto sulla sfera
che ha il punto dato come proiezione stereografica.


-b {\bf **}
  La proiezione stereografica mantiene gli angoli (l'angolo tra due curve in un loro  punto di intersezione 
\`e l'angolo tra le eventuali rispettive rette tangenti ad esse nel punto).




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 \noindent ESERCIZIO n. 15 Si seplifichino le seguenti espressioni $\log_3 9,~ 25^{\log_5 3},~\log_2 5 -\log_{\frac 12 }10 $. 




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 \noindent ESERCIZIO n. 16 Si tracci un grafico approssimativo di $\log_{\frac 12} (1 +\sin x)$ e di $2^{\tan z}$.



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 \noindent ESERCIZIO n. 17 - Dato $w= \rho (\cos\theta +i\sin\theta)\in {\bf C}$ non nullo le soluzioni 
$z\in {\bf C}$ di $w=e^z$ sono 
$\log \rho + i (\theta +2k\pi)$ al variare di $k\in {\bf Z}$.

- Si mostri che $z\mapsto e^z$ \`e invertibile nella regione $-\pi < {\cal I}\!m z \le \pi$. Si provi che la sua
immagine su tale regione sono i numeri complessi non nulli e se ne scriva l'inversa.




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 ESERCIZIO n. 18 {\bf *} Da $\vert x\cos x\vert\le \vert\sin x\vert \le \vert x \vert$ si provi 
  $\frac {\sin x}x \to 1$ e $\frac{{\rm artan} x}x \to 1$ per $x\to 0$

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ESERCIZIO n. 19 
 - Si scrivano il modulo e l'argomento di $\left(1+\frac z n\right)^n$, $z\in {\bf C}$ e
 $n\in {\bf N}$ grande.

- {\bf *} Si calcoli il limite di $\left(1+\frac z n\right)^n$ per $n\to +\infty$.




\end{document}
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ESERCIZIO n. 21   Verificare che gli insiemi
$$A=\{(x,y)\in \R^2:\ |x|\le 1,\ |y|\le 1\}, \ \ B=\{(x,y)\in \R^2: \
|x|+|y|\le 1\}$$
sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

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ESERCIZIO n. 22 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$
definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
positivamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. 
\end{description}

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ESERCIZIO n. 23 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$
definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
negativamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$.
\end{description}

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ESERCIZIO n. 24 Si provi che se $A,B$ sono vettori linearmente indipendenti in $\R^2$,
allora per ogni $P\in \R^2$ esiste un'unica coppia di numeri reali 
$\lambda, \mu$ tali che $P=\lambda A + \mu B$.


\end{document}






