Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche V.M. Tortorelli

VI foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli dal 18 novembre 2003 al 27 novembre 2003

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————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Usando la definizione di limite si mostri che quando n → ∞ si ha \frac{1}{n} → 0, n^{4} → ∞, log n → ∞. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si calcolino per n → ∞ i limiti delle seguenti successioni al variare dei parametri a ∈ R: \frac{2^{n}}{n^{3}} , \frac{log n}{\sqrt{n}}, \frac{n!}{a^{n}} , \frac{n!}{n^{a}} , \frac{n!}{n^{n}} , \frac{n!}{2^{n^{2}}} . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 ∗ a- Si provi che ^{n}\sqrt{n} ≤ \frac{2}{\sqrt{n}} + 1 − \frac{2}{n} (diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica). b- Si provi che per n → ∞ si ha ^{n}\sqrt{n} → 1. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 a- ∗ Si provi che se b_{n} → a allora la media geometrica e la media aritmetica dei primi n termini tendono ad a per n → ∞.

b- Si provi che se ^{n}\sqrt{a_{n}} → a ≥ 0 allora a_{n} tende a 0 se a < 1 a +∞ se a > 1. c- Si mostri con diversi esempi che se a = 1 la successione a_{n} può: convergere a 0, a +∞, ad un numero diverso da 0, o non convergere affatto. d- Si provi che se \frac{a_{n+1}}{a_{n}} → a allora ^{n}\sqrt{a_{n}} → a. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Calcolare per n → ∞ i limiti di: \binom{2n}{n}, (\frac{n^{n}(2n)!}{4^{n}(n−1)!n!(n+1)!})^{\frac{1}{n}} , (\frac{n!}{n^{n}} )^{\frac{1}{n}}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Calcolare per n → ∞ i limiti di: n\sqrt{log n}, ^{n}\sqrt{2^{n} + 3^{n}}, ^{n^{3}}\sqrt{2^{n} + 3^{n}}, ^{n}\sqrt{2^{n} + (−1)^{n+1}}, ^{n}\sqrt{(−2)^{n} + 3^{n}}, ^{n}\sqrt{n!}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Calcolare per n → ∞ i limiti di: \sqrt{n + 1} − \sqrt{n}, 3^{n+1} − 3^{\sqrt{n^{2}+1}}, ^{3}\sqrt{n + 2}^{3}\sqrt{n − 1}, \frac{log(n+1)}{log n}, \frac{2^{n}−10n^{100}+log n}{20n+2^{\sqrt{n}}−log n^{1}0}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Calcolare per n → ∞ i limiti di: \frac{sin 2^{n}}{\sqrt{n}} , (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 − \frac{1}{\sqrt{n}})^{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Calcolare per n → ∞ i limiti di: n sin \frac{1}{n}, n^{2}(1−cos \frac{1}{n}), n(e^{\frac{1}{n}} −1), n tan \frac{1}{n}, nartan\frac{1}{n}, \sqrt{n^{2} + n} sin tan \frac{1}{n}, n^{2}(1−cos^{2} \frac{1}{n}), (cos \frac{1}{n})^{n} ,

n log(1 + \frac{1}{n}), (1 + \frac{1}{n})^{n} , \frac{arsin \frac{1}{n} ·sin \frac{1}{n}}{cos^{3} \frac{1}{n} −1} . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Studiare la convergenza delle serie: ∑ sin \frac{1}{n}, ∑ cos \frac{1}{n}−1, ∑ \frac{log n}{n^{3}}, ∑ \frac{1}{(log n)^{log n}} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Studiare la convergenza delle serie: ∑ \frac{n^{n+1}n!(n+2)!}{(3n−1)!}, ∑ \frac{3n·n^{n−3}n!(n−2)!}{(3n+1)!}, ∑ \frac{n^{n}n!(2n−2)!}{(4n+1)!}, ∑ \frac{n^{n}}{(n!)^{2}} . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Studiare la convergenza delle serie: ∑ \frac{(−1)^{n}}{40^{\frac{1}{n}}} , ∑ \frac{(−1)^{n}}{log n} , ∑ 2^{− log n} cos πn, .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 ∗ Si provi che ∑ sin n non converge. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 a- Si provi \frac{n!}{(n+k)!} = \frac{1}{k−1} (\frac{n!}{(n+k−1)!} − \frac{(n+1)!}{(n+k)!}) per n ≥ 1, k ≥ 2. b- Si provi che ∑_{n} \frac{n!}{(n+k)!} = \frac{1}{(k−1)(k−1)!}, per k ≥ 2.

c- ∑_{n} \binom{n+k}{n}^{−1} = 1 + \frac{1}{k−1}, k ≥ 2. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Per quali x ∈ R convergono rispettivamente le serie: ∑(−2)^{n}e^{−nx}, ∑ \frac{n}{n+1}(x − 1)^{n}, ∑ \frac{(n!)^{3}x^{n}}{n(3n)!} , ∑ \frac{n}{x^{2}+n^{x}}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Si considerino le successioni a_{0} = 0, a_{n+1} = a_{n}^{2} + \frac{1}{4}, e b_{0} = α > 0, b_{n+1} = \frac{b_{n}}{b_{n}+1}. Si provi che sono monotone, se ne calcolino i limiti a e b e si studino le serie ∑(a−a_{n})^{2}, ∑(b − b_{n}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17 Si calcolino i seguenti limiti di funzione: \frac{sin x}{x} (x → 0), \frac{1−cos x}{x^{2}} (x → 0), \frac{sin x}{1+cos x} (x → π), \frac{e^{x}−1}{x} (x → 0), x log x^{2} (x → 0), \frac{\sqrt{1−x+x^{2}}−1}{x} (x → 0), \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}−1}{x} (x → 0), \frac{1−cos 3x}{x^{2}} (x → 0), \frac{log(1+x^{2})}{1−cos x} (x → 0), (x − 1)^{−1}arsin[(x − 1)(x + 2)^{−1}] (x → 1), \frac{cos π−cos(x+π)}{x^{2}+x^{3}} (x → 0), \frac{log^{2}(−x+1)}{sin^{2} x} (x → 0). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni: \frac{log x}{\sqrt{x}} (x → +∞), \frac{2^{x}+log^{2} x}{\sqrt{1+4^{x}}+x^{3}} (x → +∞), e^{\sqrt{x+1}} − e^{\sqrt{x}} (x → +∞), \frac{sin x}{log x} (x → +∞). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 19 ∗ Si calcoli usando la definizione lim_{x→∞} ∑_{n} \frac{1}{n^{2}+x^{2}} . ————————————————————————————————————————– Definizione - Una funzione f si dice Lipschitziana se esiste una costante L per cui |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|. Ovvero i rapporti incrementali sono limitati.

- Dato a ∈]0; 1[, una funzione f si dice a-Hölderiana se esiste una costante C per cui |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|^{a}.

- Una funzione si dice uniformemente continua se lim_{δ→0} sup_{|x−y|≤δ} |f(x) − f(y)| = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 ∗ a- Una funzione è uniformemente continua se e solo se per ogni coppia di successioni x_{n}, y_{n} se x_{n} − y_{n} → 0 allora anche |f(x_{n}) − f(y_{n})| → 0. (Si noti che non si richiede che le successioni convergano) b- Teorema Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente cont. c- Una funzione continua che ha limite all’infinito è uniformemente continua. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 a - Le funzioni Hölderiane e Lipschitziane sono uniformemente continue. b- Il grafico di una funzione Lipschitziana si trova sempre compreso tra due rette di pendenza L e −L centrate in un qualsiasi punto del grafico stesso. c- Si mostri che x ↦ \sqrt{|}x| è \frac{1}{2}-Hölderiana ma non Lipschitziana. d- Si mostri che x ↦ x + sin x è Lipschitziana, ma x ↦ sin x^{2} non lo è. e- Si trovino funzioni Lipschitziane ma non Hölderiane. Su quali intervalli una funzione Lipschitziana è anche Hölderiana? f-∗ Si trovi una funzione uniformemente continua ma non Hölderiana. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 23 Si provi che la funzione x ↦ ∑_{n} \frac{1}{n^{2}+x^{2}} ha massimo su R ma non ha minimo.