Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche V.M. Tortorelli

VII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 2 dicembre 2003 al 4 dicembre 2003

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————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Un punto si muove su una retta in modo che la distanza dal punto iniziale è proporzionale al quadrato del tempo percorso. In due minuti percorre dodici metri. Si trovi la velocità media: a- nei primi cinque minuti, b- tra il quarto minuto e il settimo. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 a- Calcolare le derivate delle seguenti funzioni sin(100 · x), e^{x^{100}}, log \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x+1}, tan x^{2} + tan^{2} x, \frac{x^{2}+x−1}{x^{3}+1}, ^{3}\sqrt{\frac{1}{1=x^{2}}} , sin^{2} cos 3x^{3}, \frac{arsin x}{arcos x}, x^{x}, (x log x)^{sin^{\sqrt{x}}}, log_{x}(2^{x} − x^{2}) b- Calcolare f′(x^{2}) se f(x) = x^{3}, e se g(x) = f(x^{2}) calcolare g′(x). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 a- Si trovi la tangente nel punto (1, 1) dell’insieme di punti del piano definito da x^{7} + y^{7} − 2 = 0 b- Si trovino le tangenti nel punto (0, 0) dell’insieme del piano definito da (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{2} − y^{2}). c- Si trovi l’angolo di incidenza in (1, 1) tra le due curve y = x, y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 a- Si provino le relazioni arsin x + arcos x = \frac{π}{2}, |artanx + artan\frac{1}{x}| = \frac{π}{2}. b- Si provi che per x ≥ 0 si ha artan x ≥ \frac{x}{1+x}, 2xartan x ≥ log(1 + x^{2}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si studino i grafici delle seguenti funzioni |x^{3}−1|+3, ||x|−3|+1, x|x^{2}−1|, (x−2|x|)^{2}, x+cos x, log(x+\sqrt{1 + x^{2}}), \frac{1+3e^{x}}{\sqrt{4+5e^{2x}}} , (∗) arsin\frac{2x}{1+x^{2}} . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 a- Si studi la derivabilità della funzione definita da x sin \frac{1}{x} se x ≠ 0, e nulla per x = 0. b- Si studi la derivabilità della funzione definita da x^{2} sin \frac{1}{x} se x ≠ 0, e nulla per x = 0.

* c- Sia f(x) = \frac{x}{2} + x^{2} sin \frac{1}{x} se x ≠ 0, f(0) = 0. Si provi che esiste f′(0) ed è strettamente positiva, ma la funzione non è crescente in nessun intervallo contenente 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 a- Tra i triangoli rettangoli di ipotenusa di lunghezza assegnata quali hanno area massima? b- Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente contenuto in {(x, y) : x^{2} ≤ y ≤ 1 } di area massima. c- Tra i prismi regolari a base triangolare di volume assegnato V quali rendono minima l’area superficiale? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Si calcolino se esistono i seguenti limiti: \frac{arsin x−x}{x−artan x} x → 0, \frac{\sqrt{2}−sin x−cos x}{log sin 2x} x → \frac{π}{4}, (tan x)(log sin x) x → 0, \frac{1}{x^{2}} − \frac{1}{tan^{2} x} x → 0,

\frac{log(1+x)−tan x}{x log(1+x)} x → 0, \frac{log(1+2e^{x})}{\sqrt{1+x+x^{2}}} x → +∞, ^{\frac{e^{\sqrt{log x}}}{\sqrt{x}}} x → +∞,

(\frac{π}{2} − artan x) tan (\frac{π}{2} − \frac{1}{x}) x → +∞ ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 9 Sia f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}. a - Si provi che f è continua su R.

b - Si provi che le derivate di f in R \ {0} sono del tipo funzione razionale moltiplicato f. c - Si provi che f è derivabile infinite volte in x = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 10 a- Si provi che la derivata del prodotto di n funzioni è la somma dei prodotti delle derivate di ognuna delle funzioni per le rimanenti funzioni: D(f_{1} · . . . f_{n}) = Df_{1} · f_{2} … f_{n} + f_{1} · Df_{2} · . . . f_{n} + …

a - Si provi D^{n}(f · g) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}D^{k}fD^{n−k}g.

b- Si supponga che la funzione g abbia n derivate nel punto a e che la funzione f abbia n derivate in g(a). Si provi che la funzione composta x ↦ f(g(x)) ha n derivate nel punto a. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 11 a- Sapendo che f è una funzione con la derivata prima e seconda continue

e sapendo che (1 + \frac{f(x)}{x})^{\frac{1}{x}} → e^{3} quando x → 0 si calcolino f(0), f′(0), f′′(0).

* b- Si provi che se g = f′ su un intervallo [a; b] allora g assume tutti valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore sull’intervallo [a; b]. In particolare la funzione g non potrà avere discontinuità di tipo “salto”. (Si consideri un’opportuna funzione che abbia come valori i coefficienti angolari delle corde sul grafico di f ed un estremo nei punti (a, f(a)) nella prima metà dell’intervallo [a, b], ed un estremo in (b, f(b)) nella seconda parte). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 a- Si disegni la curva 2y^{2} − x(x − 1)^{2} = 0. b- Si disegni a curva (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{2} − y^{2}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 Sia f(x) = x^{7} + x + 1. Soprovi che la funzione è bigettiva da R in se. Detta g la sua inversa si calcoli lim_{y→+∞} g (\frac{8y}{y+4}). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 14 a- Sia f(x) = x + log x. Si provi che è bigettiva da [0; +∞[ in se. b- Detta g l’inversa di f si provi che \frac{log g(a)}{g(a)} → 0 quando a → +∞.

* c- si determini esplicitamente una funzione h per cui g(a) − h(a) → 0 quando a → +∞. (Si provi log(1 + \frac{log g(a)}{g(a)}) = log a + g(a) − a). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Si scriva sin^{2} x come differenza di due funzioni convesse. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Si consideri l’equazione f(x) = 2xartan x = 1. Si provi che ha una sola soluzione positiva α. Si provi che α ≤ 1. Si provi che \frac{2}{π} ≤ α. Usando la convessità di f si provi inoltre che α ≤ \frac{4}{2+π}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17 Si mostri che le uniche funzioni f per cui f′(x) = f(x) sono le funzioni x ↦ αe^{x}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 19 ————————————————————————————————————————– ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 23