Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche

V.M. Tortorelli

Diseguaglainza tra media geometrica e media aritrmetica

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Si dà la soluzione del seguente asserto del II foglio di esercizi, che non era stata ultimata in aula:

ESERCIZIO n. 12 del II foglio - Si provi che \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2}, se x, y ≥ 0 e se ne dia un’interpretazione geometrica.

Si consideri la seguente proprietà D_{n}:

comunque siano dati n numeri non negativi si ha \sqrt[n]{x_{1} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1}+...x_{n}}{n}.

- Si provi che se vale D_{n} vale D_{2n}.

- Si provi che se vale D_{n+1} vale D_{n}. Si deduca che per ogni n vale D_{n} (ovvero è vero che la media geometrica è sempre minore o eguale alla media aritmetica).

SOLUZIONE: - Il primo punto deriva dal fatto che a^{2} + b^{2} − 2ab = (a − b)^{2} ≥ 0 ponendo x = a^{2}, y = b^{2}.

- Il secondo punto si prova come segue: \sqrt[2n]{x_{1} … x_{2n}} = √\overline{^{n} \sqrt{x_{1} … x_{n}} ^{n} \sqrt{x_{n+1} … x_{2n}}} ≤

per il primo punto avendo come argomenti le due radici n^{e}:

≤ \frac{\sqrt[n]{x_{1}...x_{n}}+ \sqrt[n]{x_{n+1}...x_{2n}}}{2} ≤

usando D_{n} due volte: per x_{1} … x_{n} e per x_{n+1} … x_{2n}
≤ \frac{\frac{x_{1}+...+xn}{n} + \frac{x_{n+1}+...+x_{2n}}{n}}{2} =

= \frac{x_{1}+...+x_{2n}}{2n}

- La prima parte del terzo punto si prova come segue: dati n numeri non negativi x_{1}, …, x_{n} si usa D_{n+1} per i numeri x_{1}, …, x_{n} e \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n}, in modo che elevando alla n + 1 i membri della diseguaglianza ottenuta si ha:

x_{1} · . . . x_{n} \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} ≤ (\frac{x_{1}+...+x_{n}+ \frac{x_{1}+...+xn}{n}}{n+1} )^{n+1} = (\frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} )^{n+1}

quindi si divide per la media aritmetica di x_{1}, … x_{n} e si fa la radice n^{a}.

- Per la seconda parte del terzo punto si osserva:

-direttamente con la definizione di metodo di induzione, dal primo e dal secondo punto, si deduce che D_{2^{m}} è vera per ogni m.

- quindi per provare che D_{n} vale si osserva che essendo vera D_{2^{n}} la prima parte permette di “tornare indietro”. (A rigore anche qui è necessario l’argomento induttivo per rendere rigorso l’argomento del “tornare indietro” un numero variabile di passi:

si considera la proprietà C_{h}: “se vale D_{h} allora vale D_{m} per tutti gli m ≤ h”

C_{1} è vera

se vale C_{h} bisogna mostrare che vale C_{h+1}: ora se si assume che vale D_{h+1} dalla prima parte si ha che vale D_{h} e quindi utilizzando l’ipotesi induttiva C_{h} si ha che vale D_{m} per ogni m ≤ h, e d’altronde si è assunto che vale anche D_{h+1}.

Quindi C_{h} vale sempre, in particolare per h = 2^{n} > n). ————————————————————————————————————————– Un’applicazione di questa diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica riguarda il fatto che la successione che da il valore finale dopo n istanti di una grandezza che varia ad ogni istante con un tasso \frac{x}{n}, cresce al crescere di n:

1 + x, 1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}(1 + \frac{x}{2}) = (1 + \frac{x}{2})^{2}, …, (1 + \frac{x}{n})^{n} : x_{h+1} − x_{h} = \frac{x}{n}x_{h}, x_{n} = (1 + \frac{x}{n})^{n} ESERCIZIO n. 13 del II foglio - Si usi la proprietà provata nel precedente esercizio per mostrare che (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1} ≥ (1 + \frac{x}{n})^{n} (se n > 1 − x),

- Si provi che (1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≥ (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2}, ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} (se n ≥ 4).

SOLUZIONE - (1 + \frac{x}{n})^{n} = (1 + \frac{x}{n}) · . . ._{n volte} . . . · (1 + \frac{x}{n}) · 1 ≤

si usa la diseguaglianza tra le medie di n + 1 numeri non negativi

≤ (\frac{1+ \frac{x}{n} +..._{n volte}...+1+ \frac{x}{n} +1}{n+1})^{n+1} = (\frac{n+x+1}{n+1})^{n+1} = (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1}

- (1 + \frac{1}{n})^{n+1} = (\frac{n+1}{n})^{n+1} = \frac{1}{(\frac{n}{n+1})^{n+1}} = _{\frac{1}{(1− \frac{1}{n+1})^{n+1}}} ≥

per quanto provato al punto precedente con x = −1

≥ _{\frac{1}{(1− \frac{1}{n+2})^{n+2}}} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2}

Infine per provare che ^{n} \sqrt{n} decrescere al crescere di n ≥ 4 si procede come segue: n \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} se e solo se n^{n+1} ≥ (n + 1)^{n} se e solo se n ≥ \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} = (1 + \frac{1}{n})^{n},

si ha inoltre:

(1 + \frac{1}{n})^{n} ≤ (si moltiplica per un numero maggiore di 1)
≤ (1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≤ (essendo decrescente per quanto appena provato)

≤ (1 + 1)^{2} = 4. Quindi per n ≥ 4 si ha ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1}.