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\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{\pic V.M. Tortorelli}

\centerline{Diseguaglainza tra media geometrica e media aritrmetica}


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Si d\`a la soluzione del seguente asserto del II foglio di esercizi, 
che non era stata ultimata in aula:
\medskip

\noindent ESERCIZIO n. 12 del II foglio - Si provi che $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}2$, se $x, ~y \geq 0$  
e se ne dia un'interpretazione geometrica.

 Si consideri la seguente propriet\`a $D_n$:

 {\it  comunque siano dati $n$ numeri non negativi si ha  ${\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}}
\le \frac {x_1 +\dots x_{n}}{ n}$.}

- Si provi che se vale $D_n$ vale $D_{2n}$.

- Si provi che se vale $D_{n+1}$ vale $D_n$. 
Si deduca che per ogni $n$ vale $D_n$ (ovvero \`e vero che 
{\it la media geometrica \`e sempre minore o eguale alla media aritmetica}).


\medskip

\noindent SOLUZIONE: - Il primo punto deriva dal fatto che $a^2 +b^2 -2ab =(a-b)^2\geq 0$ ponendo 
$x=a^2 ,~ y=b^2$.

\noindent - Il secondo punto si prova come segue:  

\noindent ${\sqrt[2n]{x_1\dots x_{2n}}}= ~~~~
{\sqrt{\!}}{\overline{
\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}
\sqrt[n]{x_{n+1}\dots x_{2n}} }}\le$

\hfill per il primo punto avendo come argomenti le due radici $n^e$:

~~~~~~~~~~~ $\le \frac{{\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}}+{\sqrt[n]{x_{n+1}\dots x_{2n}}}}{2}\le$

\hfill usando $D_n$ due volte: per $x_1\dots x_n$ e per $x_{n+1} \dots x_{2n}$

~~~~~~~~~~~ $\le \frac{
\frac{x_1+ \dots+ x_{n}}{n}+\frac{x_{n+1}+\dots + x_{2n}}{n}}{2}=$

\noindent $= \frac {x_1 +\dots + x_{2n}}{ 2n}$


\noindent - La prima parte del terzo punto si prova come segue: dati $n$ numeri non negativi 
$x_1, \dots,~ x_n$ si usa $D_{n+1}$ per i numeri $x_1, \dots,~ x_n$ e  
$ \frac{x_1+\dots +x_n}{n}$, in modo che elevando alla $n+1$ i membri 
della diseguaglianza ottenuta si ha:



~~~~~~~~$x_1\cdot \dots x_n \frac{x_1+\dots +x_n}{n} \le \left(\frac{x_1+\dots + x_n + 
\frac{x_1+\dots +x_n}{n}}{n+1}\right)^{n+1} 
= \left(\frac{x_1+\dots +x_n}{n}\right)^{n+1}$

\noindent quindi si divide per la media aritmetica di $x_1, \dots x_n$ e si fa la radice 
$n^a$.

\noindent - Per la seconda parte del terzo punto si osserva:

-direttamente con la definizione di metodo di induzione, 
dal primo e dal secondo punto, si deduce 
che $D_{2^m}$ \`e vera per ogni $m$.

-  quindi per provare che  $D_n$ vale si osserva che essendo vera $D_{2^n}$ la prima parte permette di 
``tornare indietro''. 
\smallskip

\noindent (A rigore anche qui \`e necessario l'argomento induttivo per rendere rigorso l'argomento 
del ``tornare indietro'' un numero variabile di passi:

si considera la propriet\`a $C_h$: 
``se vale $D_h$ allora vale $D_m$ per tutti gli $m\le h$"
  
$C_1$ \`e vera 

se vale $C_h$ bisogna mostrare che vale $C_{h+1}$: 
ora se si assume che vale $D_{h+1}$
 dalla prima parte si ha che vale $D_h$ e quindi utilizzando 
l'ipotesi induttiva $C_h$ 
si ha che vale $D_m$ per ogni $m\le h$, 
e d'altronde si \`e assunto che vale anche $D_{h+1}$.

Quindi $C_h$ vale sempre, in particolare per $h=2^n>n$).


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Un'applicazione di questa diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica  
riguarda il fatto che la successione che da il valore finale dopo $n$ istanti
 di una grandezza che varia ad ogni istante con un tasso $\frac xn$, cresce al crescere di $n$:

%definita dal  debito ``cumulativo",  
%alla scadenza del periodo di prestito con un tasso di interesse composto $\frac x n$ variabile in funzione  
%del numero   $n$ dei sottoperiodi concessi per l' ``estinzione del debito'', cresce al crescere di $n$ 
%(un contratto un po svantaggioso):

$1+x,~ 1+\frac x2 +\frac x2 (1+\frac x2)= (1+\frac x2)^2 , \dots ,~ \left(1+\frac xn\right)^n: ~~
x_{h+1} -x_{h} =\frac xn x_h , ~ x_n = \left( 1+\frac xn\right)^n$

%\noindent Pi\`u in generale tale successione descrive fenomeni in cui il tasso di variazione di una grandezza 
%\`e proporzionale alla quantit\`a istantanea.




\noindent ESERCIZIO n. 13 del II foglio - Si usi la propriet\`a provata nel precedente esercizio 
per mostrare che 
$\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac xn\right)^n $ (se $n>1-x$),~
% n+1+x= n (n+x)/n +1  

\noindent - Si provi che $\left(1+\frac 1{n}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+2} $,~ 
$\sqrt[n]{n}\geq \sqrt[n+1]{n+1}$ (se $n\geq 4$).

\medskip

\noindent SOLUZIONE - $ 
\left(1+\frac xn\right)^n =
\left(1+\frac xn\right)\cdot \dots_{n~{\rm volte}}\dots \cdot
\left(1+\frac xn\right) \cdot 1\le $

\hfill si usa la diseguaglianza tra le medie di $n+1$ numeri {\it non negativi}

$\le \left( \frac{1+\frac xn + \dots_{n~{\rm volte}}\dots
 +1+\frac xn +1}{n+1}\right)^{n+1} =
 \left(\frac{n+x+1}{n+1}  \right)^{n+1} = \left(1+\frac{x}{n+1}  \right)^{n+1}$

\medskip

\noindent -  $\left(1+\frac 1{n}\right)^{n+1}= \left(\frac {n+1}{n}\right)^{n+1}
= \frac 1{\left(\frac {n}{n+1}\right)^{n+1}} =
\frac 1{\left(1- \frac {1}{n+1}\right)^{n+1}}\geq$

\hfill per quanto provato al punto precedente con $x=-1$

\noindent $\geq \frac 1{\left(1- \frac {1}{n+2}\right)^{n+2}}=
\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+2} $


\medskip

\noindent Infine per provare che $\sqrt[n]{n}$ decrescere al crescere di $n\geq 4$
si procede come segue:

  $\sqrt[n]{n} \geq \sqrt[n+1]{n+1 }$ se e solo se 

$n^{n+1} \geq (n+1)^n $ se e solo se 

$n \geq 
\frac {(n+1)^n}{n^n} =\left(1+\frac 1n\right)^n $,  

\noindent si ha inoltre: 
 
~~~~~~~~~~~~~~~$\left(1+\frac 1n\right)^n \le$ (si moltiplica per un numero maggiore di $1$)
 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\le\left(1+\frac 1n\right)^{n+1} \le $ (essendo decrescente per quanto appena provato) 
$\le (1+1)^2 =4$.

\noindent Quindi  per $n\geq 4$ si ha 
 $\sqrt[n]{n} \geq \sqrt[n+1]{n+1 }$.


\end{document}
\bigskip


